Corba d'Agnesi

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, la corba d'Agnesi, anomenada així en honor a Maria Agnesi és la corba definida de la manera següent.

La corba d'Agnesi amb punts etiquetats

Es comença amb un circumferència fixa, s'escull un punt fix O en la circumferència.

Per a qualsevol altre punt A en el circumferència, es dibuixa la recta secant OA.

El punt M és diametralment oposat a O.

La recta OA talla la tangent a M al punt N.

La recta paral·lel a OM per N, i la recta perpendicular a OM per A es tallen a P. Al variar el punt A, el camí de P és la corba d'Agnesi.

La corba és asimptòtica a la recta tangent a la circumferència fixada pel punt O.

Equacions[modifica | modifica el codi]

Una actuació d'animació la construcció de la corba d'Agnesi

Suposant que el punt O sigui l'origen, i que M sigui a la part positiva de l'eix y. Suposant que el radi del circumferència sigui a.

Llavors la corba té l'equació cartesiana y = \frac{8a^3}{x^2+4a^2}.

Fixeu-vos que si a=1/2, llavors aquesta equació es fa bastant simple: y = \frac{1}{x^2+1}.

Paramètricament, si \theta\, és l'angle entre OM i OA, mesurat en el sentit de les agulles del rellotge, llavors la corba ve definida per les equacions

x = 2a \tan \theta,\ y = 2a \cos ^2 \theta.\,

Un altre parameterització, amb \theta\, l'angle entre OA i l'eix x, augmentant en el sentit contrari de les agulles del rellotge és

x = 2a \cot \theta,\ y=2a\sin ^2 \theta.\,

Propietats[modifica | modifica el codi]

La corba d'Agnesi amb paràmetres a=1, a=2, a=4, i a=8
  • L'àrea entre la corba d'Agnesi i la seva asímptota és quatre vegades l'àrea del circumferència fixa (és a dir 4 \pi a^2).
  • El centroïde de la corba és a (0,\frac{a}{2}), que és el mateix que el de la circumferència que la genera.

Història[modifica | modifica el codi]

La corba la varen estudiar Pierre de Fermat el 1630, Guido Grandi el 1703, i Maria Agnesi el 1748.[1]

En italià, la corba s'anomena la versiera di Agnesi que significa "la corba d'Agnesi". Això ho va entendre el professor de Cambridge John Colson com "diAgnesi de l'avversiera", on el significat d'"avversiera" que és "dona contraria a Déu" el va identificar com "la bruixa", i aquest error en la traducció s'ha conservat. Per això en anglès la corba es coneix com "witch of Agnesi" o en espanyol "la bruja de Agnesi" els dos cassos volen dir "la bruixa d'Agnesi".[2][3][4]

"The witch of Agnesi" també és una novel·la de ficció de Robert Spiller.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. [enllaç sense format] http://www.mathcurve.com/courbes2d/agnesi/agnesi.shtml
  2. Dones en Matemàtiques Per Lynn M. Osen (1975) pàg. 45
  3. . "Fermat's Enigma" per Simon Singh pàg 100
  4. . El llibre universal de matemàtiques: des d'Abracadabra fins a les paradoxes de Zeno Per David J. Darling (2004) pàg. 8

Fonts[modifica | modifica el codi]

Enllaços Externs[modifica | modifica el codi]