Corba de Bézier

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Corba cúbica de Bézier

La corba de Bézier en matemàtica és una corba paramètrica que és important en gràfics d'ordinador i camps relacionats com l'animació. Les generalitzacions de les corbes de Bézier a dimensions superiors s'anomenen Superfícies de Bézier de les quals el triangle de Bézier és un cas especial.

Les corbes de Bézier van ser donades a conéixer el 1962 per l'enginyer francès Pierre Bézier, que les va utilitzar per a dissenyar la carrosseria d'automòbils. Aquestes corbes van ser desenvolupades primer per Paul de Casteljau usant l'algorisme de Casteljau.

En els programes de gràfics vectorials, les corbes de Bézier s'utilitzen per modelar corbes suaus que es poden ampliar de forma indefinida. Els "Camins", com normalment se les anomena en els programes de manipulació de la imatge,[nota 1] són combinacions de corbes de Bézier vinculades.

Corbes linears de Bézier[modifica | modifica el codi]

Donats els punts P0 i P1, una corba linear de Bézier és simplement una línia recta entre aquests dos punts. La corba és donada per

\mathbf{B}(t)=\mathbf{P}_0 + t(\mathbf{P}_1-\mathbf{P}_0)=(1-t)\mathbf{P}_0 + t\mathbf{P}_1 \mbox{ , } t \in [0,1]

i és equivalent a una interpolació linear.

Corbes quadràtiques de Bézier[modifica | modifica el codi]

És la que dóna la funció B(t), donats els punts P0, P1, and P2,

\mathbf{B}(t) = (1 - t)^{2}\mathbf{P}_0 + 2(1 - t)t\mathbf{P}_1 + t^{2}\mathbf{P}_2 \mbox{ , } t \in [0,1].

Aquesta corba també és un segment parabòlic.

Corbes cúbiques de Bézier[modifica | modifica el codi]

Per als punts P0, P1, P2 i P3 en el pla o en l'espai tridimensional defineix una corba cúbica de Bézier. La corba comença a P0 anant cap a P1 i arribant a P3 venint de la direcció de P2. Normalment, no passarà a través de P1 o P2; aquests punts només es troben allí per donar informació direccional. La distància entre P0 i P1 determina "com de llarg" es mou la corba en la direcció P2 abans de girar cap P3.

L'equació paramètrica de la corba és:

\mathbf{B}(t)=(1-t)^3\mathbf{P}_0+3(1-t)^2t\mathbf{P}_1+3(1-t)t^2\mathbf{P}_2+t^3\mathbf{P}_3 \mbox{ , } t \in [0,1].

Referéncies[modifica | modifica el codi]

Notes[modifica | modifica el codi]

  1. Programes de manipulació de la imatge com ara Inkscape i Gimp.

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Corba de Bézier Modifica l'enllaç a Wikidata