Corba menjar blanc

En matemàtiques, la corba menjar blanc és una corba fractal constructible per subdivisió a mig punt. També es coneix com la corba de Takagi, en honor a Teiji Takagi que la va descriure el 1903, o com la corba de Takagi-Landsberg, una generalització de la corba. El nom menjar blanc ve de la seva semblança amb el postre del mateix nom. És un cas especial la corba de Rham.

La funció de menjar blanc es defineix en l'interval unitat per

${\rm blanc}(x) = \sum_{n=0}^\infty {s(2^{n}x)\over 2^n},$

on $s(x)$ es defineix per $s(x)=\min_{n\in{\bold Z}}|x-n|$, és a dir, $s(x)$ és la distància de x a l'enter més pròxim.

La suma infinita que defineix ${\rm blanc}(x)$ convergeix absolutament per a tot x, però la corba que resulta és un fractal. La funció de menjar blanc és contínua (de fet uniformement continua) però no és diferenciable enlloc.

La corba Takagi-Landsberg és una lleugera generalització, donada per

$T_w(x) = \sum_{n=0}^\infty w^n s(2^{n}x)$

Per a un paràmetre w; així la corba de menjar blanc és el cas $w=1/2$. El valor $H=-\log_2 w$ es coneix com el paràmetre de urst. Per a $w=1/4$, s'obté la paràbola: la construcció de la paràbola per subdivisió en el punt mig va ser descrita per Arquimedes.

La funció es pot estendre a tot de la recta real: aplicant la definició donada damunt es demostra que la funció es repeteix en cada interval unitari.

Construcció gràfica

La corba de menjar blanc es pot construir visualment a partir de funcions de dent de serra si la suma infinita és aproximada per sumes finites dels primers termes. En la il·lustració de, les funcions de dent de serra progressivament més fines (mostrades en vermell) s'afegeixen a la corba en cada etapa.

n = 0	n ≤ 1	n ≤ 2	n ≤ 3

Integració de la corba menjar blanc

Donat que la integral de ${\rm blanc}(x)$ des de 0 fins a 1 és 1/2, la identitat ${\rm blanc}(x)= {\rm blanc}(2x)/2+s(x)$ permet calcular la integral sobre qualsevol interval per la següent relació. El càlcul és recursiu amb temps de l'ordre del logaritme de la precisió exigida.

$\begin{align} I(x) &= \int_0^x{\rm blanc}(x)\,dx,\\ I(x) &=\begin{cases} 1/2+I(x-1) & \text{si }x \geq 1\\ 1/2-I(1-x) & \text{si }1/2 < x < 1 \\ I(2x)/4+x^2/2 & \text{si } 0 \leq x \leq 1/2 \\ -I(-x) & \text{si } x < 0 \end{cases} \\ \int_a^b{\rm blanc}(x)\,dx &= I(b) - I(a). \end{align}$

Relació amb els complexes simplicials

Sia

$N=\binom{n_t}{t}+\binom{n_{t-1}}{t-1}+\ldots+\binom{n_j}{j},\quad n_t > n_{t-1} > \ldots > n_j \geq j\geq 1.$

Es defineix la funció Kruskal-Katona

$\kappa_t(N)={n_t \choose t+1} + {n_{t-1} \choose t} + \dots + {n_j \choose j+1}.$

El Teorema de Kruskal-Katona estableix que aquest és el nombre mínim de (t-1)-simplicial que són cares d'un conjunt de N t-simplicials.

Com que t i N tendeixen a infinit, $\kappa_t(N)-N$ (adequadament normalitzada) tendeix a la corba de menjar blanc.

Vegeu també

• Funció signe d'interrogació de Minkowski

Referències

• Weisstein, Eric W., "Blancmange Function" a MathWorld (en anglès).
• Teiji Takagi, "A Simple Example of a Continuous Function without Derivative", Proc. Phys. Math. Japó, (1903) Volum 1, pp. 176–;177.
• Benoit Mandelbrot, "Fractal Landscapes without creases and with rivers", apareix a The Science of Fractal Images, ed. Heinz-Otto Peitgen, Dietmar Saupe; Springer-Verlag (1988) pp 243–260.
• Linas Vepstas, Symmetries of Period-Doubling Maps, (2004)
• Donald Knuth, L'art De Programació, volum 4 a. Algoritmes combinatoris, part 1. Isbn 0-201-03804-8. Vegi pàgines 372-375.

Enllaços externs

• Takagi Explorer