Corda (geometria)

Una corda d'una corba és un segment tal que els seus dos extrems pertanyen a la corba. Una secant o una línia secant és l'extensió d'una corda.

La línia vermella és una corda.

Cordes d'un cercle

Entre les propietats de la corda d'un cercle hi ha les següents:

1. Dues cordes són equidistants del centre si i només si tenen la mateixa longitud.
2. La Bisectriu de l'angle passa pel centre de la corda.
3. Si s'estenen les cordes AB i CD intersecant al punt P, llavors les seves longituds compleixen la igualtat AP•PB = CP•PD (potència d'un punt).

De l'àrea compresa entre la corda i l'arc se'n diu segment circular.

Cordes en trigonometria

La corda d'un angle és el doble del sinus de la meitat de l'angle

Les cordes es feien servir abastament en els inicis del desenvolupament de la trigonometria. La primera taula trigonomètrica coneguda, feta per Hiparc de Nicea, tabulava el valor de la funció corda per a cada 7.5 graus.

La funció corda es defineix geomètricament emprant el dibuix de l'esquerra. La corda d'un angle és la longitud de la corda entre dos punts d'un cercle de radi unitat separats per aquest angle.

Observant el dibuix de la dreta es evident que la corda de θ és igual al doble del sinus de θ/2:

$\mbox{crd}\ \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2}.$

Igual com la trigonometria moderna es construeix principalment a partir de la funció sinus, la trigonometria antiga es construïa a partir de la funció corda. Se suposa que Hiparc de Nicea va escriure un llibre de dotze volums sobre les cordes que no s'ha conservat, per tant presumiblement se'n sabia molt sobre les cordes. La funció corda satisfà moltes identitats anàlogues a les identitats ben conegudes en la actualitat per la funció sinus:

Nom	En base al Sinus	En base a la Corda
Identitat de Pitàgores	$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$	$\mbox{crd}^2 \theta + \mbox{crd}^2 (180^{\circ} - \theta) = 1$
Angle meitat	$\sin\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}}$	$\mbox{crd}\ \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{2-\mbox{crd}(180^{\circ} - \theta)}$

La identitat de la corda de l'angle meitat permet la creació de taules de la funció corda. Les taules trigonomètriques de l'era antiga habitualment feien servir circumferències goniomètriques amb valors grans per al radi (en comptes de fer servir una circumferència goniomètrica de radi 1 com es fa en la actualitat) i tabulaven els valors de la corda per aquests cercles. Llavors era una qüestió d'escala el trobar la corda necessària per a qualsevol cercle. Segons G. J. Toomer, Hiparc feia servir una circumferència goniomètrica de radi 3438' (=3438/60=57.3). Aquest valor és extremadament proper a $180/\pi$ (=57.29577951...). Un avantatge d'aquesta tria del radi era que podia aproximar amb força exactitud la corda d'un angle pel propi angle si l'angle era petit. En termes moderns, això permetia una simple aproximació lineal:

$\frac{3438}{60} \mbox{crd}\ \theta = 2 \frac{3438}{60} \sin \frac{\theta}{2} \approx 2 \frac{3438}{60} \frac{\pi}{180} \frac{\theta}{2} = \left(\frac{3438}{60} \frac{\pi}{180}\right) \theta \approx \theta$

Enllaços externs

• Esbós de la història de la trigonometria
• Funcions trigonomètriques, centrat en la història
• Corda (d'un cercle) Amb animació interactiva