Cristall d'espín

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Representació esquemàtica de l'estructura d'espín aleatòria d'un cristall d'espín (dalt) i l'estructura ordenada d'un material ferromagnètic (baix)
Amorphous SiO2
Cristall (SiO2 amorf)
Crystalline SiO2)
Quartz (SiO2 cristal·lí)
El desordre magnètic d'un cristall d'espín comparat a un material ferromagnètic és anàleg al desordre positional del cristall (esquerra) comparat al quartz (dreta).

Un cristall d'espín es un imant desordenat amb interaccions frustrades que són augmentades per les posicions estocàstiques dels espins, on interaccions oposades, en concret enllaços ferromagnètics i antiferromagnètics, estan distribuïts aleatòriament amb una freqüència comparable. El terme "cristall" sorgeix de l'analogia entre el desordre magnètic a un cristall d'espín i l'ordre posicional d'un cristall químic convencional com el cristall de les finestres.

Els cristalls d'espín presenten moltes estructures metaestables resultant en un gran nombre d'escales temporals que són difícils d'explorar tan experimentalment com teòricament usant simulacions.

Component magnètic[modifica | modifica el codi]

El tret distintiu entre els cristalls d'espín i altres sistemes magnètics és la dependència temporal. A una temperatura superior a la corresponent a la transició cap a un cristall d'espín, Tc,[note 1] el sistema exhibeix un comportament magnètic típic (com per exemple paramagnetisme).

Si s'aplica un camp magnètic tal com la mostra es refreda cap a la temperatura de transició, la magnetització de la mostra incrementa d'acord amb la llei de Curie. Quan s'arriba a Tc, la mostra es converteix en un cristall d'espín i si es continua refredant el sistema els canvis en la magnetització són molt petits. Aquesta propietat es coneix com a la magnetització de camp refradada. Quan el camp magnètic extern s'elimina, la magnetització del cristall d'espín decreix ràpidament fins a un valor més petit conegut com a magnetització remanent. Després la magnetització decreix més lentament acostant-se cap a zero (o cap a un nombre no zero però molt petit—aquest fet encara no es coneix). Aquesta reducció no és exponencial, i de fet cap funció simple serveix per descriure la curva de la magnetització segons el temps.[1] Aquesta reducció lenta és un tret distintiu dels cristalls d'espín. Mesures experimentals de durades de l'ordre dels dies mostren canvis continus per sobre del soroll extern degut a la instrumentació usada.[1]

la suma de les magnetitzacions de camp zero refredat i remanent és una constant del valor de la magnetització de camp refredada, i per tant ambdues tenen la mateixa dependència temporal,[2] com a mínim per a camps externs suficientment petits.

El model d'Edwards–Anderson[modifica | modifica el codi]

En aquest model tenim espins en una estructura d-dimensional amb interaccions només amb els veïns més pròxims, de forma similar al model d'Ising. Aquest model es pot resoldre de forma exacte per calcular les temperatures crítiques i una fase cristal·lina s'observa a baixes temperatures.[3] El Hamiltonià per a aquest sistema d'espins és:


H = -\sum_{\langle ij\rangle}J_{ij}S_{i}S_{j},

on S_{i} és la matriu de Pauli d'espín per a partícules d'espín un mig al punt i de l'esctructura. Un valor negatiu de J_{ij} descriu una interacció antiferromagnètica entre els espins als punts i i j. La suma inclou totes les posicions de veïns més pròxims per a una estructura en qualsevol dimensió. Les variables J_{ij} que descriuen la natura magnètica de la interacció espín-espín s'anomenen variables d'enllaç. Per calcular la funció de partició del sistema és necessari calcular la mitja de l'energia lliure f[J_{ij}] = -\dfrac{1}{\beta}\ln \mathcal{Z}\left[J_{ij}\right] on \mathcal{Z}\left[J_{ij}\right] = \operatorname{Tr}_{S}e^{\left(-\beta H\right)}, per a tots els valors possible de J_{ij}. La distribució dels valors de J_{ij} es considera Gaussiana amb mitja J_{0} i variança J^{2}:


P(J_{ij}) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi J^2}}\exp\left\{-\dfrac{N}{2J^2}\left(J_{ij} - \dfrac{J_0}{N}\right)^2\right\}.

Resolent per trobar l'energia lliure usant el mètode de rèplica, a sota d'una certa temperatura, es troba la fase magnètica dels cristalls d'espín, que està caracteritzada per una magnetització zero m = 0 i un valor no-zero de la funció de correlació de dos punts entre espins al mateix punt de l'estructura però per a dues rèpliques diferents: q = \sum_{i=1}^N S^\alpha_i S^\beta_i \neq 0, on \alpha, \beta són els indexos de les rèpliques. Per tant, el paràmetre d'ordre per a la transició de fase entre el material ferromagnètic i el cristall d'espins és q, i per a la transició material paramagnètic a cristall d'espins també és q. Per tant el nou conjunt de paràmetres d'ordre que descriuen les tres fases magnètiques són ambdós m i q. L'energia lliure d'aquest sistema es pot trobar tant si s'assumeix la simetria entre rèpliques com si es considera un simetria trencada per a les rèpliques. Si s'assumeix la simetria entre rèpliques, l'energia lliure és


\begin{align}
\beta f = &- \dfrac{\beta^2 J^2}{4}(1-q)^2 + \dfrac{\beta J_0 r m^r}{2} \\
&- \int \exp\left(-\frac{z^2}{2}\right)\log \left(2\cosh\left(\beta J\sqrt{z} + \beta J_{0}m\right)\right) \, \mathrm{d}z.
\end{align}

El model de Sherrington i Kirkpatrick[modifica | modifica el codi]

Apart de les propietats experimentals inusuals dels cristalls d'espín, aquests sistemes són l'objecte de moltes investigacions teòriques i computacionals. Una gran part del treball teòric inicial sobre cristalls d'espín considerava la teoria del camp mitjà basada en un conjunt de rèpliques de la funció de partició del sistema.

Un model central per als cristalls d'espín que es pot resoldre de forma exacte va ser introduït per D. Sherrington i S. Kirkpatrick l'any 1975. És un model d'Ising amb acoblaments frustrats de llarg abast tant ferro- com antiferromagnètics. Correspòn a una teoria del camp mitjà dels cristalls d'espín que descriu la dinàmica lenta de la magnetització i l'estat d'equilibri no ergòdic.

A diferència del model d'Edwards–Anderson el rang de les interaccions pot ser infinit (de l'ordre de les dimensions del cristall), encara que només es considerin interaccions de parelles d'espins. Per tant, dos espins qualsevol es poden alinear amb un enllaç ferromagnètic o antiferromagnètic, i la distribució d'aquests ve donada exactament com al cas del model d'Edwards–Anderson. El Hamiltonià pel model de Sherrington i Kirkpatrick és molt semblant al del model d'Edwards–Anderson:


H = -\sum_{i<j} J_{ij} S_i S_j

on J_{ij}, S_{i}, S_{j} tenen el mateix significat que al model d'Edwards–Anderson. La solució d'equilibri del model, després d'uns quants intents de Sherrington, Kirkpatrick i altres, va ser descoberta per Giorgio Parisi l'any 1979 usant el mètode de les rèpliques. La feina que va seguir aquesta solució per a interpretar-la—feta per M. Mezard, G. Parisi, M.A. Virasoro i molts altres—va revelar la naturalesa complexa d'una fase cristal·lina a baixes temperatures que es caracteritza pel trencament de l'ergodicitat i la ultrametricitat. Desenvolupaments posteriors varen portar a la creació del mètode de la cavitat que permet l'estudi de la fase de baixes temperatures sense usar el mètode de les rèpliques. Francesco Guerra i Michel Talagrand han proporcionat una demostració rigorosa de la solució de Parisi

El formalisme de la teoria del camp mitjà basada en un conjunt de rèpliques també s'ha aplicat a l'estudi de les xarxes neuronals, on ha permès calcular propietats com la capacitat de memòria d'una arquitectura senzilla de xarxa neuronal sense la necessitat d'algoritmes d'ensenyament (com el de propagació cap enrere).

També s'han estudiat extensament altres models de cristalls d'espín més realistes que inclouen interaccions frustrades de rang curt i desordre, com el model Gaussià on els acoblaments entre els espins segueixen una distribució Gaussiana. Aquest models s'han estudiat usant sobretot simulacions de Monte Carlo. Les fases del cristall d'espín a aquestes models estan delimitades per canvis d'estat ben delimitats.

Els cristalls d'espín han adquirit rellevància més enllà del camp de la matèria condensada, com per exemple a xarxes neuronals, informàtica, biologia teòrica, econofísica, etc.

Model de rang infinit[modifica | modifica el codi]

El model de rang infinit es una generalització del model de Sherrington–Kirkpatrick, on no només es consideren interaccions entre parelles d'espins, sinó que interaccions entre r espins, on r \leq N i N és el nombre total d'espins. A diferència del model d'Edwards–Anderson, però semblant al model de Sherrington–Kirkpatrick, el rang de les interaccions és infinit. El Hamiltonià d'aquest model és:


H = -\sum_{i_1 < i_2 < \cdots < i_r} J_{i_1 \dots i_r} S_{i_1}\cdots S_{i_r}

on J_{i_1\dots i_r}, S_{i_1},\dots, S_{i_r} tenen significats semblants que al model d'Edwards–Anderson. El límit r\to \infty d'aquest model es coneix com el model d'energia aleatòria. En aquest límit la probabilitat que el cristall d'espín existeixi en un estat particular només depèn de l'energia d'aquell estat i no en les configuracions concretes dels espins. Per resoldre el model se sol assumir una distribució Gaussiana per als enllaços magnètics. En principi, com a conseqüència del teorema del límit central, qualsevol altra distribució hauria de donar el mateix resultat. La distribució Gaussiana, amb mitja \dfrac{J_0}{N} i variança \dfrac{J^2}{N} és:


P(J_{i_1\cdots i_r}) = \sqrt{\dfrac{N^{r-1}}{J^2 \pi r!}} \exp\left\{-\dfrac{N^{r-1}}{J^2 r!}\left(J_{i_1\cdots i_r} - \dfrac{J_0 r!}{2N^{r-1}}\right)\right\}

Els paràmetres d'ordre d'aquest sistema són la magnetització m i la funció de correlació q de dos punts entre espins al mateix punt de l'estructura a dues rèpliques diferents, igual que al model de Sherrington–Kirkpatrick. Aquest model de rang infinit es pot resoldre per calcular l'energia lliure explícitament[3] en termes de m i q, si s'assumeix la simetria entre rèpliques o també si hi ha trecament de simetria per a una rèplica:[3]


\begin{align}
\beta f &= \dfrac{\beta^2 J^2 q^r}{4} - \dfrac{r\beta^2 J^2 q^r}{2} - \dfrac{\beta^2 J^2}{4} + \dfrac{\beta J_0 r m^r}{2} + \dfrac{r\beta^2 J^2 q^{r-1}}{4\sqrt{2\pi}} \\
&\qquad + \int \exp\left(-\frac{z^2}{2}\right)\log \left(2\cosh\left(\beta Jz\sqrt{\dfrac{rq^{r-1}}{2}} + \dfrac{\beta J_0 r m^{r-1}}{2}\right)\right) \, \mathrm{d}z
\end{align}

Comportament no-ergòdic i aplicacions[modifica | modifica el codi]

El comportament no ergòdic ocorre en cristalls d'espín per sota de la temperatura de congelació T_f perquè per sota d'aquesta temperatura el sistema no pot escapar dels mínims ultra-profunds del relleu energètic desordenat jeràrquicament.[note 2] Malgrat que la temperatura de congelació normalment és al voltant dels 30 kelvin (-240 graus Celcius), i que podria semblar que el magnetisme dels cristalls d'espín no té aplicacions pràctiques a la vida de cada dia, existeixen aplicacions en diferents contextos. Per exemple, a la ja mencionada teoria de xarxes neuronals (és a dir, a la recerca teòrica del cervell), i la teoria matematico-econòmica de l'optimització.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Notes[modifica | modifica el codi]

  1. T_c és idèntic a l'anomenada "temperatura de congelació" T_f
  2. Aquest desordre jeràrquic del relleu energètic es pot caracteritzar amb una frase: en aquest relleu hi ha "valls (aleatoris) dins altres valls (aleatoris) més profunds, que a la vegada estan dins valls (aleatoris) més profunds, ...

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. 1,0 1,1 J. Phys.: Condens. Matter, vol. 10, 1998, pàg. 11049–11054..
  2. Nordblad, P.; Lundgren, L. & Sandlund, L. (1986), "A link between the relaxation of the zero field cooled and the thermoremanent magnetizations in spin glasses", Journal of Magnetism and Magnetic Materials 54: 185–186, DOI 10.1016/0304-8853(86)90543-3
  3. 3,0 3,1 3,2 Nishimori, Hidetoshi. Statistical Physics of Spin Glasses and Information Processing: An Introduction. Oxford: Oxford University Press, 2001, p. 243. ISBN 0-19-850940-5, 9780198509400. 

Literatura[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]