Cub xato

Cub xato

Tipus	Políedre arquimedià
Cares	Triangles i quadrats
Elements :  · Cares  · Arestes  · Vèrtex  · Característica	38 (32 triangles i 6 quadrats) 60 24 2
Cares per vèrtex	5
Vèrtex per cara	3 i 4
Simetries	O o S4
Dual	icositetràedre pentagonal
Propietats	Semi-regular i convex

En geometria, el cub xato és un dels tretze políedres arquimedians. Té 38 cares, 6 de les quals són quadrades i 32 triangulars, 60 arestes i a cadascun dels seus 24 vèrtex i concorren una cara quadrada i quatre cares triangulars. És un sòlid quiral que es presenta en dues formes enantiomorfes.

Àrea i volum

Les fórmules per calcular l'àrea A i el volum V d'un cub xato tal que les seves arestes tenen longitud a són les següents: $\begin{align} & A=\left( 6+8\sqrt{3} \right)a^{2} \\ & V=\left( \frac{3}{8}\sqrt{3R^{2}-1}+\sqrt{4R^{2}-2} \right)a^{3} \\ \end{align}$

On R és el radi de l'esfera circumscrita.

Esfera circumscrita

El radi R de l'esfera circumscrita és:

$R=a\sqrt{\frac{3-t}{4\left( 2-t \right)}}$

On a és la longitud de les arestes i t és la constant tribonacci (el limit al que tendeix la raó entre dos nombres consecutius de l'extensió de la successió de Fiboncci basada en començar per tres nombres: 0,0 i 1 i obtenir cada nombre com a suma dels tres anteriors), és a dir la solució real de l'equació:

$t^{3}-t^{2}-t-1=0 \,$

Que aplicant la fórmula de l'equació de tercer grau dóna:

$t=\frac{1}{3}\left( 1+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}} \right)$

Dualitat

El políedre dual del cub xato és l'icositetràedre pentagonal.

Desenvolupament pla del cub xato

Simetries

El grup de simetria del cub xato és; el grup octàedric $O \cong S_4$. de les simetries que preserven les orientacions del cub, l'octàedre, i de l'octàedre.

Políedres relacionats

El cub xato es pot obtenir a partir del cub a base de separar les 6 cares quadrades i girar-les lleugerament fins que l'espai entre elles es pugui omplir per corones de triangles equilàters.

• 

  Cub

• 

  Cuboctàedre

• 

  Cub xato

Vegeu també

• Políedre de Johnson
• Políedre de Catalan
• Políedre regular

Bibliografia

• H. M. Cundy & A. P. Rollett. I modelli matematici. Milà: Feltrinelli, 1974. 
• Dedò, Maria. Forme, simmetria e topologia. Bolonya: Decibel & Zanichelli, 1999. ISBN 88-08-09615-7. 

Enllaços externs

• Políedres I Pàgina 13
• Políedres arquimedians
• Paper models of Archimedean solids
• Snub cube Article sobre el cub xato a mathworld.