Delta de Kronecker

La delta de Kronecker és una convenció d'escriptura que serveix per expressar i valorar la igualtat o desigualtat entre dues variables. El símbol n'és la lletra grega delta δ i pren el nom del matemàtic Leopold Kronecker. Els valors de les variables, típicament elements de conjunts d'índexs, se solen posar com a subíndexs, δ_ij, o en un superíndex i un subíndex: δ_jⁱ. Els valors són:

$\delta_{ij} = \delta^{i}_{j} = \begin{cases}0, & \mbox{si } i \neq j \\ 1, & \mbox{si } i = j \end{cases}$

S'utilitza en molts àmbits de les matemàtiques, (per exemple la matriu identitat es pot escriure com a δ_ij) però naturalment, l'ús de la delta de Kronecker es restringeix a aquells contextos en què els símbols 0 i 1 tinguin sentit, com són, per exemple, el conjunt ℕ dels nombres naturals, anells amb unitat o cossos.

Processament de senyals digitals

En processament de senyals digitals el mateix concepte es representat com una funció damunt $\mathbb{Z}$ (enters):

$\delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0.\end{cases}$

La funció es refereix com un impuls, o impuls de la unitat. I quan estimula un element del tractament de senyals, la sortida es diu la resposta d'impuls de l'element.

Propietats de la funció Delta

La Delta de Kronecker té la propietat per la qual $j\in\mathbb Z$:

$\sum_{i=-\infty}^\infty a_i \delta_{ij} =a_j.$

Si els nombres enters es veuen com a espai de mesura, dotat amb la mesura de comptar, després aquesta propietat coincideix amb la propietat definida de la funció de delta de Dirac:

$\int_{-\infty}^\infty \delta(x-y)f(x) dx=f(y),$

De fet, la delta de Dirac va ser nomenada a causa de la delta de Kronecker a causa d'aquesta propietat anàloga. En el tractament de senyals és generalment el context (temps discret o continu) que distingeix les funcions de Kronecker i Dirac. I pel conveni, $\delta(t)\,$ indica generalment el temps continu (Dirac), mentre que les discussions com a i, j, k, l, m, i n són generalment reservats per al temps discret (Kronecker). Una altra pràctica comuna és representar seqüències discretes amb els claudàtors; així:  $\delta[n]\,$. És important observar que el delta de Kronecker no és el resultat de mostrejar la funció de delta de Dirac. El delta de Kronecker s'utilitza en moltes àrees de les matemàtiques.

Àlgebra lineal

En àlgebra lineal, la matriu identitat es pot escriure com $(\delta_{ij})_{i,j=1}^n\,$.

Si es considera com a tensor, el tensor de Kronecker, pot ser escrit $\delta^i_j$

Un altre exemple del seu ús a l'àlgebra lineal és per la base canònica d'un espai vectorial , que compleix $\vec e_i \cdot \vec e_j = \delta_{ij}$