Demostració (matemàtiques)

En matemàtiques, una demostració, també dita prova, és una justificació que estableix la veritat d'un enunciat matemàtic. A partir d'uns axiomes (suposats vertaders per definició) i unes regles d'inferència correctes, hom mostra que un enunciat també és vertader. Com que les matemàtiques són una ciència formal, no empírica, la demostració ha de ser un argument que no apel·li a cap fet empíric. Les proves s'obtenen de raonaments deductius, en lloc de raonaments inductius o arguments empírics. Això vol dir que una prova ha de demostrar que una proposició és certa en tots els casos sense una sola excepció. El rigor de la metodologia matemàtica exigeix que cap proposició no s'accepti com a vàlida fins que hom no en conegui una demostració correcta. Els enunciats matemàtics demostrats que es consideren d'una especial rellevància s'anomenen teoremes i els d'importància menor proposicions, lemes o corol·laris. Una proposició matemàtica que no ha estat provada ni refutada i per la qual hi ha algunes intuïcions que fan pensar que és vertadera, és una conjectura.

Les demostracions matemàtiques normalment s'escriuen i s'expliquen en llenguatge natural (amb un cert nivell d'artifici formal propi del quefer matemàtic), i això pot deixar lloc a una certa ambigüitat. És per això que la teoria de la demostració ha desenvolupat mètodes per formalitzar completament el raonament matemàtic i poder així determinar amb tota precisió la noció de demostració matemàtica correcta. Aquestes investigacions han tingut sens dubte un gran valor per a la fonamentació i la filosofia de la matemàtica.

Entre els mètodes de demostració ben habituals en matemàtiques podem enumerar la demostració directa, la demostració per inducció, la demostració per contradicció o reducció a l'absurd, la demostració per separació de casos, la demostració constructiva, etcètera.

S'utilitza la lògica en les demostracions així com llenguatge natural que normalment és una mica ambigu. De fet, la gran majoria de proves escrites en matemàtiques es poden considerar com aplicacions rigoroses de lògica informal. Les demostracions formals estan escrites en llenguatge simbòlic en lloc de llenguatge natural. La distinció entre demostracions formals i informals ha portat a un exhaustiu examen de la matemàtica actual i la històrica, casi-empirisme en matemàtiques, i l'anomenada folk mathematics' (en els dos sentits d'aquest terme). La filosofia de les matemàtiques s'interessa en el paper que juga el llenguatge i la lògica en les demostracions i en les matemàtiques com a llenguatge.

Història i etimologia

Proposicions plausibles que utilitzen elements heurístics com dibuixos i analogies precedeixen precedeixen demostracions estrictament matemàtiques. La història del concepte de demostració es remunta a les civilitzacions de l'antiga Grècia i Xina. Tales de Milet (640–546 aC) va demostrar alguns teoremes de geometria. Eudoxe de Cnidos (408–355 aC) i Teatet de Lòcrida (417–369 aC) va formular teoremes però no els va demostrar. Aristòtil (384–322 aC) va dir que les definicions haurien de descriure el concepte que s'ha de definir en termes d'altres conceptes que ja són coneguts. Euclides (300 aC) va començar amb termes indefinits i axiomes (proposicions al respecte dels termen no definits que s'accepten com a evidentment certs, de la paraula grega "axios" que significa "alguna cosa valuosa") i que els usen per provar teoremes utilitzant la lògica deductiva. La teoria de la demostració moderna tracta les demostracions com a estructures de dades definides inductivament. En l'actualitat no es té la hipòtesi que els axiomes són certs en cap sentit; això permet fer teories matemàtiques paral·leles construïdes en conjunts alternatius d'axiomes (vegeu teoria de conjunts axiomàtica i geometria no euclideana per exemple).

La paraula Demostració prové del llatí probare que significa "provar". Paraules modernes relacionades amb aquesta són les paraules angleses "probe", "proboscis", "probation" i "probability", i la paraula catalana "provar".

Un dels primers ussos de "probity" era en l'àmbit dela presentació d'una prova legal. Es deia que una autoritat, com per exemple un noble, tenia "probity". Això significava que la prova tenia vaor per la seva autoritat relativa que no pas per la seva validesa empírica.

Natura i propòsit

Hi ha dues concepcions diferents d'una demostració matemàtica. La primera és una demostració informal, una expressió rigorosa del llenguatge natural que intenta convèncer a l'audiencia de la veracitat d'un teorema. Com que utilitza el llenguatge natural, els estàndards de rigor de les demostracions informals dependrà de l'audiència de la demostració. Malgrat tot, per tal que es consideri una demostració, l'argument ha de ser prou rigorós; un argument vag o incomplet no és una demostració. Les demostracions informals són el tipus de demostracions que es troben típicament en les publicacions matemàtiques. A vegades s'anomenen "demostració formals" degut al seu rigor, encara que els lògics utilitzen el terme "demostració formal" per referir-se a un tipus completament diferent de demostració.

En lògica, una demostració formal no està escrita en llenguatge natural, sino que utilitza un llenguatge formal que consisteix en certes cadenes de símbols d'un alfabet fix. Això permet definir el concepte de demostració formal sense cap ambigüitat. El camp de la teoria de la demostració estudia les demostacions formals i les seves propietats. Malgrat que cada demostració informal es pot convertir, en teoria, en una demostració formal, això no es fa gaire bé mai a la pràctica. L'estudi de demostracions formals s'utilitza per determinar propietats de demostrabilitat en general, i per veure que alguns proposicions indecidibles no es poden demostrar.

Una qüestió clàssica en filosofia és preguntar-se si les demostracions matemàtiques són analitica o sintètica. Kant, qui va introduir la distinció analitica-sintètica, creia que les demostracions matemàtiques eren sintètiques.

Les demostracions es poden veure com objectes estètics, admirats per la seva bellesa matemàtica. El matemàtic Paul Erdős conegut per desciure demostracions va trobar especialment elegant com si vingués de "The Book", un hipotètic llibre que contenia els mètodes de demostració més macos per cada teorema. El llibre Proofs from THE BOOK, publicat el 2003, es dedica a presentar 32 demostacions que els seus editors troben particularment maques.

Mètodes de demostració

Demostració directa

En una demostració directa, la conclusió s'estableix combinant lògicament els axiomes, les definicions i teoremes demostrats previament. Per exemple, una demostració directa es pot utilitzar per establir que la suma de dos nombres enters, un parell i l'altre senar, sempre dóna senar:

Siguin $x$ i $y$ dos nombres enters qualsevol. Es pot escriure $x=2a$ i $y=2b$ per uns enterns for some integers $a$ i $b$, ja que tant $x$ com $y$ són múltiples de 2. Però la suma $x+y = 2a + 2b = 2(a+b)$ també és múltiple de 2, per tant és senar per definició.

Aquesta demostració utilitza la definició de nombre senars així com la propietat distributiva.

Demostració per inducció matemàtica

En una demostració per inducció matemàtica, primer de tot s'ha de demostrar que un "cas inicial " és cert, i llavors la "regla d'inducció" s'utilitza per provar un seguit d'altre casos (sovint infinits casos). Com que s'ha demostrat que el cas inicial és cert, la resta d'infinits altres casos també han de ser certs, encara que tots no es puguin demostrar directament ja que són un nombre infinit. Un subconjunt d'inducció és un mètode de descens infinit. Es va utilitzar un mètode de descens infinit per demostrar que l'arrel de 2 és irracional. El principi d'inducció matemàtica diu que: Sigui N = { 1, 2, 3, 4, ... } el conjunt dels nombres naturals i P(n) una afirmació matemàtica en la que intervé el nombre natural n pertanyent a N tal que (i) P(1) és cert, ie, P(n) és cert per n = 1 (ii) P(m + 1) és cert si P(m) és cert, ie, P(m) és cert implica que P(m + 1) és cert. Llavors P(n) és cert per a tots els nombres naturals n.

Els matemàtics utilitzen sovint el terme "demostració per inducció " com a abreviatura per a demostració per inducció matemàtica. Malgrat això, el terme "demostració per inducció" també es pot utilitzar en lògica per a significar una argumentació que utilitza raonament inductiu.

Demostració per transposició

La demostració per transposició estableix la conclusió "si p llavors q" tot demostrant l'enunciat equivalent contrapositive "si no q llavors no p".

Demostració per reducció a l'absurd

En una Demostració per reducció a l'absurd (provinent de l'expressió llatina reductio ad absurdum), es demostra que si alguna proposició fos així, llavors apareix una contradicció lògica, per tant la proposició no pot ser així. Aquest mètode és tal vegada el més utilitzat per a les demostracions matemàtiques. Una demostració famosa que utilitza la reducció a l'absurd és la de la irracionalitat $\sqrt{2}$:

Suposem que $\sqrt{2}$ és un nombre racional, llavors $\sqrt{2} = {a\over b}$ on a i b són nombres enters diferents de zero amb cap factor en comú (definició de nombre racional). Per tant, $b\sqrt{2} = a$. Elevant al quadrat a les dues bandes obtenim 2b² = a². Com que 2 divideix al membre de l'esquerra, 2 també ha de dividir al membre de la dreta (ja que tots dos són iguals i enters), Per tant a² és senar, que implica que a també ha de ser senar. Per tant es pot escriure a = 2c, on c és també un nombre enter. Substituint en l'equació inicial obtenim 2b² = (2c)² = 4c². Al dividir els dos membres per obtenim b² = 2c². Però llavors, aplicant el mateix argument que abans, 2 divideix b², Per tant b ha de ser senar. Però a i b eren tots dos senars, i també hem vist que tots dos comparteixen el factor 2. Això contradiu la nostra afirmació inicial i per tant hem de concloure que $\sqrt{2}$ és un nombre irracional.

Demostració per construcció

La demostració per construcció, o demostració per exemple consisteix en construir un exemple concret amb la propietat que demostra que existeix alguna cosa amb una propietat determinada. Per exemple, Joseph Liouville, va demostrar l'existència dels nombres transcendents construint un exemple explícit.

Demostració per exhaustió

En una demostració per exhaustió, s'arriba a la conclusió mitjançant la divisió de l'afirmació en un nombre finit de casos i provant cada cas independentment. El nombre de casos pot ser a vegades molt gran. Per exemple, la primera demostració del teorema dels quatre colors es va fer per exhaustió amb 1936 casos. Aquesta prova va ser força controvertida perquè la majoria dels casos van ser comprovats per un programa d'ordinador i no amb llapis i paper. La demostració feta d'aquest teorema fins a l'actualitat que té menys casos encara en té més de 600.

Demostració probabilística

Una demostració probabilística és una en la que es demostra que existeix un exemple, amb seguretat, utilitzant mètodes probabilístics. No s'ha de confondre amb l'afirmació que un teorema és 'probablement' cert. Aquest últim tipus de raonament es pot anomenar 'argument plausible' i no és una prova; en el cas de la conjectura de Collatz està clara la diferència entre aquest tipus de demostracions i una demostració autèntica. La demostració probabilística, com les demostracions per construcció, és una de les moltes maneres de demostrar teoremes d'existència.

Demostració combinatòrica

Una demostració combinatòrica estableix l'equivalència de les diferents expressions demostrant que compten el mateix objecte de diferents maneres. Normalment s'utilitza una bijecció per demostrar que les dues interpretacions donen el mateix resultat.

Demostració no-constructiva

Una demostració no-constructiva estableix que un determinat objecte matemàtic ha d'existir (p.ex.: "Algun X satisfà f(X)"), sense explicar com es pot trobar aquest objecte. Sovint aquest tipus de demostracions pren la forma d'una demostració per reducció a l'absurd en la que es demostra la impossibilitat de la no existència de l'objecte. En un demostració constructiva es demostra que aquest objecte existeix donant un mètode per a trobar-lo. Un exemple famós d'una demostració no constructiva demostra que existeixen dos nombres irracionals $a$ i $b$ tal que $a^b$ és un nombre racional:

O bé $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ és un nombre racional i, llavors, ja hem acabat (prenem $a=b=\sqrt{2}$), o $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ és irracional, per tant escrivim $a=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ i $b=\sqrt{2}$. Això dóna $\left (\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right )^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}^{2}=2$, que és per tant un nombre racional de la forma $a^b.$

Demostració visual

Demostració visual al triangle (3, 4, 5) com en el Chou Pei Suan Ching 500–200 BC.

Malgrat que no és una demostració formal, una demostració visual d'un teorema matemàtic pren a vegades el nom de "demostració sense paraules". La imatge de la dreta és un exemple d'una demostració visual històrica del teorema de Pitàgores en el cas del triangle (3,4,5).

Demostració elemental

Una demostració elemental és una demostració en la que s'utilitzen únicament tècniques bàsiques. Aquest terme s'utilitza en la teoria de nombres per a referir-se a demostracions que no utilitzen anàlisi complexa. Durant temps es creia que alguns teoremes com el teorema de nombres primers només es podien demostrar utilitzant matemàtiques "d'alt nivell". Amb el temps, molts d'aquests resultats s'han demostrat utilitzant només tècniques elementals.

Demostració a dues columnes

Una demostració a dos columnes publicada el 1913

Una forma particular de demostració utilitzant dues columnes paral·leles s'utilitza sovint en les classes de geometria elemental. La demostració s'escriu com una sèrie de línies en dues columnes. A cada línia, la columna de l'esquerra conté una proposició, mentre que la columna de la dreta conté l'explicació de si aquesta proposició és, o bé un axioma, o bé una hipòtesis, o bé pot ser obtinguda a partir de les línies anteriors.

Demostracions estadístiques en matemàtiques pures

L'expressió "demostració estadística" es pot utilitzar tècnicament o col·loquialment en les àrees de matemàtiques pures com la criptografia, les sèries caòtiques i la teoria de nombres probabilística o analítica. S'utilitza menys freqüentment per a referir-se a una demostració matemàtica en la branca d'estadística matemàtica. Vegeu també la secció "Demostració estadística utilitzant dades" més endavant.

Demostracions assistides per ordinador

Fins el segle XX es creia que tota demostració podia ser, en principi, comprovada per qualsevol matemàtic competent per a confirmar la seva validesa. Però avui en dia, s'utilitzen els ordinadors tant per demostrar teoremes com per fer càlculs que són massa llargs per fer per qualsevol persona o grup de persones; la primera demostració del teorema dels quatre colors és un exemple d'una demostració assistida per ordinador. Alguns matemàtics estan preocupats per la possibilitat d'algun error en el programa d'ordinador o un error en el temps d'execució dels càlculs. Aquests possibles problemes posarien en qüestió la validesa d'aquesta demostració assistida per ordinador. A la pràctica, les possibilitats d'un error que invalidés la demostració assistida per ordinador es poden reduir incorporant redundància i auto-comprovacions en els càlculs, i desenvolupant múltiples i diferents programes, així com aproximacions independents.

Proposicions indemostrables

Una proposició de la qual no se'n pot demostrar ni la veracitat ni la falsetat a partir d'un conjunt d'axiomes s'anomena indecidible (per aquest conjunt d'axiomes). Un exemple n'és el postulat de les paral·leles, que no es pot ni provar ni refutar a partir dels axiomes de la geometria euclidiana.

S'ha demostrat que hi ha moltes proposicions que no són ni demostrables ni refutables en la teoria de conjunts de Zermelo-Fraenkel amb l'axioma de l'elecció (ZFC), el sistema estàndard de la teoria dels conjunts en matemàtiques (suposant que ZFC és consistent); vegeu llista de les proposicions indecidibles a ZFC.

El primer teorema d'incompletesa de Gödel diu que molts sistemes axiomàtics d'interès matemàtic tenen proposicions indecidibles.

Matemàtiques heuristiques i matemàtiques experimentals

Mentre matemàtics clàssics com Eudoxe de Cnidos no utilitzaven demostracions, des d'Euclides fins als matemàtics que van fer els fonaments de les matemàtiques cap a finals dels segles XIX i XX, les demostracions eren una part essencial de les matemàtiques. Amb l'increment de la capacitat de càlcul dels ordinadors cap al 1960, es va iniciar un treball significatiu en la recerca d'objectes matemàtics fora del marc de referència que dónen les demostracions de teoremes, en les matemàtiques experimentals. Els primers pioners d'aquests mètodes van intentar que la feina estigués integrada en el marc de referència clàssic de la demostració dels teoremes, e.g. el desenvolupament inicial de la geometria fractal, cosa que finalment es va integrar.

Conceptes relacionats

Us col·loquial de "demostració matemàtica"

L'expressió "demostració matemàtica" s'utilitza pels advocats per a referir-se a la utilització de mètodes matemàtics o argumentacions amb objectes matemàtics, com nombre, per a demostrar coses de la vida quotidiana, o quan les dades utilitzades en les argumentacions són nombres. A vegades també s'utilitza amb el significat de "demostració estadística" (vegeu a baix), especialment quan s'utilitza en argumentacions amb dades.

Demostració estadística utilitzant dades

La demostració estadística a partir de dades és l'aplicació de l'estatística, l'anàlisi de dades o l'anàlisi bayesiana per a la inferència de proposicions referides a la probabilitat de les dades. Tot i que fa servir la demostració matemàtica per a establir teoremes en l'estatística, habitualment no és una demostració matemàtica, pel fet que les assumpcions d'on es deriven les afirmacions estatístiques necessiten una evidència empírica externa a la matemàtica per a la verificació. En física, a part dels mètodes estadístics, les "demostracions estadístiques" es poden referir als mètodes matemàtics de la física que s'apliquen per analitzar dades en un experiment de física de partícules o un estudi observacional en cosmologia. Una "demostració estadística" també es pot referir a dades brutes o a un diagrama convincent que inclou dades, com per exemple els núvols de punts, quan les dades o el gràfic és suficientment convincent sense una anàlisi posterior.

Demostracions utilitzant lògica inductiva i anàlisi bayesiana

Les demostracions que usen lògica inductiva, encara que es consideren matemàtiques, busquen demostrar proposicions amb un cert grau de certesa, que funciona d'una manera semblant a la probabilitat, i pot ser menor que la certesa. L'anàlisi bayesana estableix afirmacions fins al grau de la creença subjectiva personal. No s'ha de confondre la lògica inductiva amb la inducció matemàtica.

Demostracions com a objectes mentals

La psicologia veu les demostracions matemàtiques com a objectes fisiològics o mentals. Els filòsofs matemàtics, com ara Leibniz, Frege i Carnap, van intentar desenvolupar una semantica per a això que ells consideraven el llenguatge del pensament, mentre que els estàndards de la demostració matemàtica es poden aplicar a les ciències empíriques.

Influencia dels mètodes de demostració matemàtics fora de la matemàtica

Filòsofs-matemàtics com Schopenhauer van intentar formular arguments filosòfics d'una manera axiomàtica, mentre que els estàndards de les demostracions matemàtiques es poden aplicar a les argumentacions en filosofia general. Altres matemàtics-filòsofs van intentar utilitzar els estàndards de la demostració matemàtica i el raonament, sense empirisme, per tal d'arribar a proposicions fora de les matemàtiques, però tenint la seguretat de les deduccions de les proposicions a partir d'una demostració matemàtica, com amb l'argument cogito de Descartes. Kant i Frege consideraven que la demostració matemàtica era un a priori analític.

Fi d'una demostració

A vegades, s'escriu l'abreviació "Q.E.D.", abreviació prové de "Quod Erat Demonstrandum", que vol dir "el que volíem demostrar " en llatí. Una alternativa més comuna és utilitzar un quadrat o un rectangle com □ o ∎, conegut com tombstone o halmos. Sovint es verbalitza "com es volia demostrar" quan en una presentació oral s'escriu a la pissarra "QED", "□", o "∎".

Bibliografia

• Polya, G. Mathematics and Plausible Reasoning. Princeton University Press, 1954.
• Fallis, Don (2002) "What Do Mathematicians Want? Probabilistic Proofs and the Epistemic Goals of Mathematicians." Logique et Analyse 45:373-88.
• Franklin, J. and Daoud, A. Proof in Mathematics: An Introduction. Quakers Hill Press, 1996. ISBN 1-876192-00-3
• Solow, D. How to Read and Do Proofs: An Introduction to Mathematical Thought Processes. Wiley, 2004. ISBN 0-471-68058-3
• Velleman, D. How to Prove It: A Structured Approach. Cambridge University Press, 2006. ISBN 0-521-67599-5

Enllaços externs

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Demostració (matemàtiques)

• What are mathematical proofs and why they are important?
• How To Write Proofs by Larry W. Cusick
• How to Write a Proof by Leslie Lamport, and the motivation of proposing such a hierarchical proof style.
• Proofs in Mathematics: Simple, Charming and Fallacious
• The Seventeen Provers of the World, ed. by Freek Wiedijk, foreword by Dana S. Scott, Lecture Notes in Computer Science 3600, Springer, 2006, ISBN 3-540-30704-4. Contains formalized versions of the proof that $\sqrt{2}$ is irrational in several automated proof systems.
• What is Proof? Thoughts on proofs and proving.
• ProofWiki.org An online compendium of mathematical proofs.
• planetmath.org A wiki style encyclopedia of proofs