Demostració que e és irracional

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtica, el desenvolupament en sèrie del nombre e

e = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}

pot ser utilitzat per a provar que e és un nombre irracional.


Suposem per a l'absurd que sigui e = a/b, per a uns enters positius a i b. Considerem el nombre


x := b\,!\left(e - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right)=b\,!\left(\frac{a}{b} - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right).


Mostrem que la suposició per a l'absurd implica simultàniament que  0<x<1 i que  x és un nombre enter. Això és impossible, i aquesta contradicció estableix la irracionalitat de "e".

  • Per a veure que x és un nombre enter, notem que
x\, = b\,!\left(\frac{a}{b} - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right)= a(b - 1)! - b\,!\cdot \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}
Ara, per a tot n tal que 0\leq n\leq b , hom veu que b\,! és divisible per a n\,!, ja que

b\,!\cdot \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!} és un nombre enter positiu. Com a conseqüència, puix que a\cdot(b-1)!\in{\mathbb N} també, x\in{\mathbb Z}, és a dir, x és un nombre enter.

  • Per a veure que x és un nombre positiu inferior a 1, notem que x=b\,!\sum_{n = b+1}^{\infty} \frac{1}{n!}\quad car

x= \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)(b+2)} + \frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)} + \cdots

< \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)^2} + \frac{1}{(b+1)^3} + \cdots = \frac{1}{b} \le 1

Aquí, la darrera suma és una sèrie geomètrica. Puix que no existeixen nombres enters positius més petits que 1, hem obtingut una contradicció. Això acaba la demostració.

Quod erat demonstrandum


A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Demostració que e és irracional Modifica l'enllaç a Wikidata