Derivada covariant

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
El transport paral·lel d'un vector al llarg d'una corba tancada sobre l'esfera, que igual que el concepte de derivada covariant es basa en la noció de connexió matemàtica. L'angle  \alpha després de recórrer una vegada la corba és proporcional a l'àrea dins de la corba.

La derivada covariant ( \scriptstyle \nabla_i ) és una generalització del concepte de derivada parcial ( \scriptstyle \part_i ) que permet estendre el càlcul diferencial sobre  \scriptstyle \R^n amb coordenades cartesianes al cas de coordenades curvilínies en  \scriptstyle \R^n (i també al cas encara més general de varietats diferenciables).

Introducció[modifica | modifica el codi]

Introduirem primer el cas de  \scriptstyle \R^n . Suposem que tenim n camps vectorials que en cada punt formen una base vectorial  \scriptstyle \{\mathbf{i}_1, \dots \mathbf{i}_n \} i un camp vectorial contravariant addicional  \scriptstyle \mathbf{v} de tal manera que aquest camp pot expressar en termes de la base anterior:


 \mathbf{v}(x) = \sum_{k = 1}^nv^k (x) \mathbf{i}_k (x)

On  \scriptstyle v^k són les components del vector en aquesta base. Si s'utilitzen coordenades curvilínies  \scriptstyle (x^1, \dots x^n) , els vectors tangents a les corbes coordenades canvien de punt a punt. Això implica que encara que el camp vectorial sigui constants en general les seves coordenades a la base escollida no seran constants i en general succeirà que la derivada covariant ( \scriptstyle \bar{\part}):


 \bar{\part}_i \mathbf{v}\ne \frac{\part \mathbf{v}}{\part x^i}: =
\sum_{k = 1}^n \frac{\part v^k}{\part x^i}\mathbf{i}_k

Ja que també cal considerar la variació d'orientació de la base vectorial en passar d'un punt a un altre, és a dir, per avaluar la derivada (covariant) anterior necessitem avaluar:

(1)

 \bar{\part}_i \mathbf{v}= \frac{\bar{\part}\mathbf{v}}{\bar{\part}x^i}: =
\sum_{k = 1}^n \frac{\part v^k}{\part x^i}\mathbf{i}_k+\sum_{k = 1}^nv^k \frac{\bar{\part}\mathbf{i}_k}{\bar{\part}x^i}

On el terme segon addicional dóna compte de com canvia la base vectorial en recórrer una línia coordenada curvilínia. És a dir quan s'usen coordenades cartesianes en  \scriptstyle \R^n les línies coordenades són línies rectes paral·leles als eixos coordenats, i d'alguna manera en cada punt la base vectorial escollida per a mesurar les coordenades d'un camp vectorial en tots els punts estan "sincronitzades". Però en coordenades curvilínies en passar d'un punt a un altre, els vectors tangents a les línies coordenades usats com a base no coindirán d'un punt a un altre i és necessari calcular la seva variació en canviar de punt. En general els vectors  \scriptstyle \mathbf{i}_k (x) no només depenen del punt cal especificar com es "connecten" els vectors en diferents punts i per a això es defineix una connexió que en el cas de  \scriptstyle \R^n pot representar-se com un conjunt de coeficients:

(2)

 \frac{\bar{\part}\mathbf{i}_k}{\bar{\part}x^i}: =
\sum_{m = 1}^n \Gamma_{ki}^m \mathbf{i}_M

Els coeficients  \scriptstyle \Gamma_{ji}^k es diuen símbols de Christoffel i defineixen localment la connexió. Juntanto els resultats de(1)i(2)la derivada covariant parcial d'un camp vectorial pot expressar-se mitjançant:

(3a)

 \nabla_i \mathbf{v}= \frac{\bar{\part}\mathbf{v}}{\bar{\part}x^i}=
\sum_{k = 1}^n \frac{\part v^k}{\part x^i}\mathbf{i}_k+\sum_{k = 1}^n \sum_{m = 1}^nv^k \Gamma_{ki}^m \mathbf{i}_M

Usant el conveni de sumación d'Einstein i renombrando els índexs l'expressió anterior es pot escriure simplement com:

(3b)

 \nabla_i \mathbf{v}=
 \left (\frac{dv^k}{dx^i}+\Gamma_{meu}^kV^m \right) \mathbf{i}_k

L'expressió entre parèntesis representa les components de la derivada covariant del vector contravariant  \scriptstyle \mathbf{v}. Anàlogament donada una corba  \scriptstyle t \mapsto (x^1 (t), \dots, x^n (t)) es defineix la derivada covariant temporal al llarg d'aquesta corba com:


 \frac{D \mathbf{v}}{Dt}= \dot{x}^i \nabla_i \mathbf{v}=
 \left (\frac{dv^k}{dx^i}+\Gamma_{meu}^kV^m \right) \frac{dx^i}{dt}\mathbf{i}_k

Cas euclidià[modifica | modifica el codi]

La necessitat de la generalització de la derivada ordinària en  \scriptstyle \R^n s'aprecia quan el seu usen coordandas curvilínies com s'ha dit. N'hi ha prou el moviment d'una partícula expressat en coordenades cartesianes i després el mateix moviment expressat en coordenades polars, per exemple, considerem una massa puntual que es mou al llarg de la trajectòria recta per:


No s'ha pogut entendre (error de lèxic): \begin{cases}x (t) = d \cos \theta_0 - vt \sin \theta_0 \ \ i (t) = d \sin \theta_0+vt \cos \theta_0 \end{cases}\rightarrow \qquad \qquad i (t) = \frac{dx \cos (t) \theta_0}{\sin \theta_0}


És a dir, el punt es mou amb una velocitat  \scriptstyle v uniforme al llarg d'una recta, això pot veure's de manera senzilla, si es calculen les velocitats i les acceleracions de la partícula:


No s'ha pogut entendre (error de lèxic): \begin{cases}v^x = \cfrac{dx}{dt}= - v \sin \theta_0 \ \ v^i = \cfrac{di}{dt}=+v \cos \theta_0 \end{cases}, \qquad \qquad \begin{cases}a^x = \cfrac{dv^x}{dt}= \cfrac{\part v^x}{\part x}\dot{x}+\cfrac{\part v^x}{\part i}\dot{i}= 0 \ \ a^i = \cfrac{dv^i}{dt}= 0 \end{cases}


On s'ha fet servir la notació  \scriptstyle \dot{x}= dx/dt i  \scriptstyle \dot{i}= di/dt .

Ara considerem el càlcul de l'acceleració en coordenades polars. Com la partícula es mou sobre una recta la partícula la distància a l'origen i l'angle polar estaran relacionats mitjançant la relació:


No s'ha pogut entendre (error de lèxic): \begin{cases}\rho (t) = \sqrt{d^2+v^2t^2}\ \ \Theta (t) = \theta_0+\arctan \left (\cfrac{vt}{d}\right) \end{cases}\rightarrow \qquad \qquad \rho (t) = \frac{d}{\cos (\theta (t) - \theta_0)}, \ (\theta_0-\pi/2 <\theta <\theta_0+\pi/2 )


Les coordenades de la velocitat de la partícula en aquestes coordenades es poden determinar mitjançant càlcul directe o canviant de base a partir de la components cartesianes:


 v^\rho = \dot{\rho}= v \sin (\theta - \theta_0), \qquad \qquad
v^\theta = \dot{\theta}= \frac{v}{\rho}\cos (\theta - \theta_0)

Com que la partícula es mou a velocitat constant el vector acceleració hauria de resultar nul. D'acord al discutit anteriorment, les components del vector acceleració poden obtenir-se mitjançant les coordenades covariants:


No s'ha pogut entendre (funció '\A' desconeguda): \begin{cases}a^\rho = \cfrac{Dv^\rho}{Dt}= \dot{\rho} \left (\cfrac{\part v^\rho}{\part \rho}+\Gamma^\rho_{\rho \rho}v^\rho+\Gamma^\rho_{\rho \theta}v^\theta \right)+\dot{\theta} \left (\cfrac{\part v^\rho}{\part \theta}+\Gamma^\rho_{\theta \rho}v^\rho+\Gamma^\rho_{\theta \theta}v^\theta \right) = \ \ = \dot{\rho}(0+0+0)+\dot{\theta} \left (v \cos (\theta-\theta_0)+0 - \rho \cfrac{v}{\rho}\cos (\theta-\theta_0) \right) = 0 \ \A^\theta = \cfrac{Dv^\theta}{Dt}= \dot{\rho} \left (\cfrac{\part v^\theta}{\part \rho}+\Gamma^\theta_{\rho \rho}v^\rho+\Gamma^\theta_{\rho \theta}v^\theta \right)+\dot{\theta} \left (\cfrac{\part v^\theta}{\part \theta}+\Gamma^\theta_{\theta \rho}v^\rho+\Gamma^\theta_{\theta \theta}v^\theta \right) = \ \ \dot{\rho} \left (- \cfrac{v \cos (\theta-\theta_0)}{\rho^2}+0+\cfrac{1}{\rho}\cfrac{v \cos (\theta-\theta_0)}{\rho}\right)+ \dot{\theta} \left (- \cfrac{v \sin (\theta-\theta_0)}{\rho}+\cfrac{1}{\rho}v \sin (\theta-\theta_0)+0 \right) = 0 \end{cases}


És important notar com en aquest cas les derivades parcials ordinàries no coincideixen amb les components de l'acceleració:


No s'ha pogut entendre (error de lèxic): \begin{cases}a^\rho \ne \cfrac{dv^\rho}{dt}= \cfrac{\part v^\rho}{\part \rho}\dot{\rho}+\cfrac{\part v^\rho}{\part \theta}\dot{\theta}\ \ a^\theta \ne \cfrac{dv^\theta}{dt}= \cfrac{\part v^\theta}{\part \rho}\dot{\rho}+\cfrac{\part v^\theta}{\part \theta}\dot{\theta}\end{cases}


Ja que en coordenades polars els vectors de la base varien de punt a punt, i és per això que només utilitzant la derivada covariant s'obté un vector d'acceleració nul tal com es podia esperar a partir del càlcul en coordenades cartesianes.

Cas general[modifica | modifica el codi]

En una varietat diferenciable o una hipersuperficie de  \scriptstyle \R^n , d'altra banda, el concepte de derivada direccional es defineix a partir de l'espai tangent a cada punt. En el cas general en presentar la varietat o la hipersuperficie curvatura, els espais tangents de cada punt difereix del dels punts propers i per tant es necessita alguna manera de "connectar" o identificar vectors de diferents espais vectorials, mitjançant una connexió sobre la varietat.

En una varietat riemanniana comunament es tria una connexió (sense torsió) que sigui compatible amb la mètrica, expressada per les components del tensor mètric  \scriptstyle g_{\mu \nu}, en el sentit que:


 \nabla_ \alpha g_{\mu \nu}= 0 \rightarrow \Gamma_{\mu \nu}^\rho = \frac{g^{\rho \sigma}}{2}
 \left (\frac{\part g_{\sigma \nu}}{\part x^\mu}+\frac{\part g_{\mu \sigma}}{\part x^\nu}- \frac{\part g_{\mu \nu}}{\part x^\sigma}\right)

Derivada covariant d'un tensor[modifica | modifica el codi]

En les seccions anteriors la discussió de la derivada covariant s'ha limitat a un camp vectorial contravariant. Però la derivada covariant pot estendre a altres tipus de camps tensorials definits sobre una varietat de Riemann. Per estendre la definició usa el fet que la derivada parcial d'un escalar coincideix amb la derivada covariant parcial d'aquest escalar, és a dir:


 \nabla_ \beta \varphi: = \part_ \beta \varphi \,

Així per a calcular la derivada covariant parcial d'unel 1-forma  \scriptstyle \boldsymbol \theta = \theta_ \alpha dx^\alpha es considera la seva contracció amb un camp vectorial contravariant i tenint en compte que la derivada covariant en una derivació per a la qual val la regla del producte:


 \part_ \beta (\theta_ \alpha v^\alpha) = \nabla_ \beta (\theta_ \alpha v^\alpha) =
(\nabla_ \beta \theta_ \alpha) v^\alpha+\theta_ \alpha (\nabla_ \beta v^\alpha)

Això porta a la següent relació entre components:


 \nabla_ \beta \theta_ \alpha =
\frac{d \theta_ \alpha}{dx^\beta}- \Gamma_{\alpha \beta}^\mu \theta_ \mu

Per a un tensor de tipus (p, q) general s'haurà:


 \nabla_ \alpha T^{\beta_1 \dots \beta_n}_{\delta_1 \dots \delta_m}=
\frac{\part T^{\beta_1 \dots \beta_n}_{\delta_1 \dots \delta_m}}{\part x^\alpha}+\sum_i \Gamma_{\alpha \rho}^{\beta_i}T^{\beta_1 \dots \rho \dots \beta_n}_{\delta_1 \dots \delta_m}- \sum_i \Gamma_{\alpha \delta_i}^{\rho}T^{\beta_1 \dots \beta_n}_{\delta_1 \dots \rho \dots \delta_m}

Propietats[modifica | modifica el codi]

En l'anterior s'ha considerat la noció de derivada covariant de manera naturalista estenent a coordenades curvilínies la noció de derivada parcial, aquest enfocament condueix a un operador de derivació covariant amb les següents propietats:

  1. Linealitat: Per a tot A i B de  \mathcal{T}_r^s (\mathbb{R}^n) i qualsevol  \alpha, \beta \in \R :  \nabla_ \mu
(\Alpha A^{\alpha_1 \dots \alpha_n}_{\beta_1 \dots \beta_m}+\beta B^{\alpha_1 \dots \alpha_n}_{\beta_1 \dots \beta_m}) = \alpha \nabla_ \mu A^{\alpha_1 \dots \alpha_n}_{\beta_1 \dots \beta_m}+\beta \nabla_ \mu B^{\alpha_1 \dots \alpha_n}_{\beta_1 \dots \beta_m}
  2. Regla de Leibniz:
  3. Comutatividad amb la contracció:
  4. Consistència amb la noció de vector tangent:

Una altra possibilitat és definir una derivada covariant més formalment és construir un operador que satisfaci per construcció les propietats anteriors.

Referència[modifica | modifica el codi]

Bibliografia[modifica | modifica el codi]