Derivada de Gâteaux

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, la derivada de Gâteaux és una generalització del concepte de derivada direccional. S'anomena així en honor a René Gâteaux, un matemàtic francés que va morir jove a la Segona Guerra Mundial, es defineix per a espais vectorials topològics localment convexes, en oposició a la derivada en espais de Banach, la derivada de Fréchet. Totes dues derivades, sovint es fan servir per a formalitzar la derivada funcional que es fa servir habitualment en física, en particular en Teoria quàntica de camps. A diferència d'altres formes de derivada, la derivada de Gâteaux d'una funció pot ser no lineal.

Definició[modifica | modifica el codi]

Suposeu que X i Y són espais vectorials topològics localment convexes (per exemple, espais de Banach), U\subset X és obert, i

F:X\rightarrow Y.

La derivada de Gâteaux dF(u,\psi) de F a u\in U en la direcció \psi\in X es defineix com


dF(u,\psi)=\lim_{\tau\rightarrow 0}\frac{F(u+\tau \psi)-F(u)}{\tau}=\left.\frac{d}{d\tau}F(u+\tau \psi)\right|_{\tau=0}

Si el límit existeix. Si el límit existeix per a tot \psi \in X, llavors es diu que F té derivada de Gâteaux a u\in U.

Es diu que F és contínuament derivable en U si

dF:U\times X \rightarrow Y

es contínua.

Propietats[modifica | modifica el codi]

Si la derivada de Gâteaux existeix, és única.

Per a cada u\in U la derivada de Gâteaux és un operador

dF(u,\cdot):X\rightarrow Y.

Aquest operador és homogeni, de forma que

dF(u,\alpha\psi)=\alpha dF(u,\psi)\,,

però, en general, no és additiu, i, per tant, no sempre és lineal, a diferència de la derivada de Fréchet.

En canvi, per a X i Y espais de Banach, si se suposa que la derivada de Gâteaux dF(u, ψ) de F és contínua i lineal a ψ per a tot uU, i dF és una aplicació contínua d'espais mètrics UL(XY), llavors F és Fréchet derivable. Aquest criteri és anàleg al de derivabilitat d'una funció a partir de la continuïtat de les seves derivades parcials.

Si F és Fréchet derivable, llavors, també és Gâteaux derivable, i les seves derivades de Fréchet i de Gâteaux concorden.

Exemple[modifica | modifica el codi]

Sia X l'espai de Hilbert de les funcions de quadrat integrables sobre un conjunt Lebesgue mesurable \Omega en l'espai euclidià RN. El funcional

E:X\rightarrow \mathbb{R}

Donat per

 E(u)=\int_\Omega F\left(u(x) \right)dx

on F és una funció real d'una variable real amb F'=f\, i u està definit en \Omega amb valors reals, té per derivada de Gâteaux


dE(u,\psi)=(f(u),\psi)\,.

En efecte,


\frac{E(u+\tau\psi) - E(u)}{\tau} = \frac{1}{\tau} \left( \int_\Omega F(u+\tau\psi)dx - \int_\Omega F(u)dx \right)

\quad\quad =\frac{1}{\tau} \left( \int_\Omega\int_0^1 \frac{d}{ds} F(u+s\tau\psi) \,ds\,dx \right)

\quad \quad =\int_\Omega\int_0^1 f(u+s\tau\psi)\psi \,ds\,dx.

Fent \tau\rightarrow 0 (i suposant que totes les integrals estan ben definides) dóna com a resultat per a la derivada de Gâteaux

\int_\Omega f(u(x))\psi(x) \,dx,

És a dir, el producte interior de (f(u),\psi).\,

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]