Derivada de Gâteaux

En matemàtiques, la derivada de Gâteaux és una generalització del concepte de derivada direccional. S'anomena així en honor a René Gâteaux, un matemàtic francés que va morir jove a la Segona Guerra Mundial, es defineix per a espais vectorials topològics localment convexes, en oposició a la derivada en espais de Banach, la derivada de Fréchet. Totes dues derivades, sovint es fan servir per a formalitzar la derivada funcional que es fa servir habitualment en física, en particular en Teoria quàntica de camps. A diferència d'altres formes de derivada, la derivada de Gâteaux d'una funció pot ser no lineal.

Definició

Suposeu que $X$ i $Y$ són espais vectorials topològics localment convexes (per exemple, espais de Banach), $U\subset X$ és obert, i

$F:X\rightarrow Y.$

La derivada de Gâteaux $dF(u,\psi)$ de $F$ a $u\in U$ en la direcció $\psi\in X$ es defineix com

$dF(u,\psi)=\lim_{\tau\rightarrow 0}\frac{F(u+\tau \psi)-F(u)}{\tau}=\left.\frac{d}{d\tau}F(u+\tau \psi)\right|_{\tau=0}$

Si el límit existeix. Si el límit existeix per a tot $\psi \in X$, llavors es diu que $F$ té derivada de Gâteaux a $u\in U$.

Es diu que $F$ és contínuament derivable en $U$ si

$dF:U\times X \rightarrow Y$

es contínua.

Propietats

Si la derivada de Gâteaux existeix, és única.

Per a cada $u\in U$ la derivada de Gâteaux és un operador

$dF(u,\cdot):X\rightarrow Y.$

Aquest operador és homogeni, de forma que

$dF(u,\alpha\psi)=\alpha dF(u,\psi)\,$,

però, en general, no és additiu, i, per tant, no sempre és lineal, a diferència de la derivada de Fréchet.

En canvi, per a X i Y espais de Banach, si se suposa que la derivada de Gâteaux dF(u, ψ) de F és contínua i lineal a ψ per a tot u ∈ U, i dF és una aplicació contínua d'espais mètrics U → L(X, Y), llavors F és Fréchet derivable. Aquest criteri és anàleg al de derivabilitat d'una funció a partir de la continuïtat de les seves derivades parcials.

Si F és Fréchet derivable, llavors, també és Gâteaux derivable, i les seves derivades de Fréchet i de Gâteaux concorden.

Exemple

Sia $X$ l'espai de Hilbert de les funcions de quadrat integrables sobre un conjunt Lebesgue mesurable $\Omega$ en l'espai euclidià R^N. El funcional

$E:X\rightarrow \mathbb{R}$

Donat per

$E(u)=\int_\Omega F\left(u(x) \right)dx$

on $F$ és una funció real d'una variable real amb $F'=f\,$ i $u$ està definit en $\Omega$ amb valors reals, té per derivada de Gâteaux

$dE(u,\psi)=(f(u),\psi)\,.$

En efecte,

$\frac{E(u+\tau\psi) - E(u)}{\tau} = \frac{1}{\tau} \left( \int_\Omega F(u+\tau\psi)dx - \int_\Omega F(u)dx \right)$

$\quad\quad =\frac{1}{\tau} \left( \int_\Omega\int_0^1 \frac{d}{ds} F(u+s\tau\psi) \,ds\,dx \right)$

$\quad \quad =\int_\Omega\int_0^1 f(u+s\tau\psi)\psi \,ds\,dx.$

Fent $\tau\rightarrow 0$ (i suposant que totes les integrals estan ben definides) dona com a resultat per a la derivada de Gâteaux

$\int_\Omega f(u(x))\psi(x) \,dx,$

Es a dir, el producte interior de $(f(u),\psi).\,$

Vegeu també

• Derivada (generalitzacions)
• Derivada de Fréchet

Referències

• R Gâteaux. «Sur les fonctionnelles continues et les fonctionnelles analytiques». Comptes rendus de l'academie des sciences, Paris, Vol. 157 (1913). [Consulta: 30 de juliol de 2006].