Derivada direccional

De Viquipèdia

Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, la derivada direccional d'una funció derivable de varies variables al llarg d'un vector V en un punt donat P, intuïtivament, representa la raó instantània de canvi de la funció quant es passa per P resseguint la direcció de V. Això per tant generalitza la noció de derivada parcial, en la qual la direcció és sempre paral·lela a un dels eixos de coordenades.

La derivada direccional és un cas especial de la derivada de Gâteaux.

Taula de continguts

[edita] Definició

La derivada direccional d'una funció escalar f(\vec{x}) = f(x_1, x_2, \ldots, x_n) al llarg d'un vector \vec{v} = (v_1, \ldots, v_n) és la funció definida pel límit

\nabla_{\vec{v}}{f}(\vec{x}) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\vec{x} + h\vec{v}) - f(\vec{x})}{h}}.

De vegades alguns autors escriuen Dv en comptes de \nabla_v. Si la funció f és derivable a \vec{x}, llavors la derivada direccional existeix al llarg de qualsevol vector \vec{v}, i es té

\nabla_{\vec{v}}{f}(\vec{x}) = \nabla f(\vec{x}) \cdot \vec{v}

On la \nabla de la dreta denota el gradient i \cdot és el Producte escalar. A qualsevol punt \vec{x}, la derivada direccional de f, intuïtivament, representa la raó de canvi de f al llarg de \vec{v} al punt \vec{x}. Normalment les direccions es prenen normalitzades, es a dir \vec{v} és un vector unitari, tot i que la definició de més amunt funciona per a vectors qualssevol. [1]


Demostració
Per claredat es farà la demostració pel cas d'una funció de dues variables, el cas general s'obté de la mateixa manera. Sia una funció derivable z = f(x,y)\;. La derivada direccional en la direcció d'un vector \mathbf{v} = (v_x,v_y) és:


D_\mathbf{v}f = \lim_{h\to 0} \cfrac{f(x+v_xh,y+v_yh)-f(x,y)}{h}
D_\mathbf{v}f = \lim_{h\to 0} \cfrac{f(x+v_xh,y+v_yh)-f(x,y+v_yh)+f(x,y+v_yh)-f(x,y)}{h}
D_\mathbf{v}f = \lim_{h\to 0} \cfrac{f(x+v_xh,y+v_yh)-f(x,y+v_yh)}{h} + \lim_{h\to 0} \cfrac{f(x,y+v_yh)-f(x,y)}{h}


El primer d'aquests límits es pot calcular amb el canvi h' = v_xh\; això, pel fet de ser derivable la funció, condueix a:

\lim_{h'\to 0} \cfrac{f(x+h',y+v_yh'/v_x)-f(x,y+v_yh'/v_x)}{h'/v_x} = \lim_{h'\to 0} v_x\frac{\part f(x,y+v_yh'/v_x)}{\part x} = v_x\frac{\part f(x,y)}{\part x}

Fent el mateix amb l'altre límit i sumant s'obté:

D_\mathbf{v}f = v_x\frac{\part f(x,y)}{\part x} + v_y\frac{\part f(x,y)}{\part y}

Aquest resultat coincideix amb el producte escalar del gradient pel vector \mathbf{v} = (v_x,v_y):

(\nabla f)\cdot\mathbf{v} = \left(\frac{\part f(x,y)}{\part x}, \frac{\part f(x,y)}{\part y} \right) \cdot (v_x,v_y) = \frac{\part f(x,y)}{\part x}v_x + \frac{\part f(x,y)}{\part y}v_y = D_\mathbf{v}f
 

[edita] Propietats

Moltes de les propietats de la derivadaordinària, també les té la derivada direccional. Entre elles hi ha, per a qualssevol parell de funcions f i g definides en un entorn de p i derivables a p:

\nabla_v h\circ g (p) = h'(g(p)) \nabla_v g (p)

[edita] En geometria diferencial

Sia M una varietat diferenciable i p un punt de M. Suposant que f sigui una funció definida en un entorn de p, i que sigui derivable a p. Si v és un vector tangent a M en p, llavors la derivada direccional de f al llarg de v, escrita indiferentment com a \nabla_v f(p) (vegeu derivada covariant), Lvf(p) (vegeu derivada de Lie), o vp(f) (vegeu espai tangent#Definició via derivació), es pot definir tal com segueix. Sia γ : [-1,1] → M una corba derivable amb γ(0) = p i γ′(0) = v. Llavors la derivada direccional es defineix per

\nabla_v f(p) = \left.\frac{d}{d\tau} f\circ\gamma(\tau)\right|_{\tau=0}

Es pot demostrar que aquesta definició és independent de la tria de γ, suposant que γ se selecciona de la forma prescrita, es a dir γ'(0) = v.

[edita] Derivada normal

Una derivada normal és una derivada direccional peresa en la direcció normal (es a dir ortogonal) a alguna superfície en l'espai, o de forma més general, al llarg d'un camp vectorial ortogonal a alguna hipersuperfície. Vegeu per exemple la condició de frontera de Neumann. Si la direcció normal s'escriu \vec{n}, llavors la derivada direccional d'una funció ƒ s'escriu de vegades \frac{ \partial f}{\partial n}.

[edita] Referències

  1. ↑ VegeuSee Tom Apostol. Mathematical Analysis. Addison-Wesley, 1974, 344-345. ISBN 0-201-00288-4. 

[edita] Vegeu també

Obtingut de «http://ca.wikipedia.org/wiki/Derivada_direccional»