Desigualtat de Bessel

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, especialment en anàlisi funcional, la desigualtat de Bessel és una proposició sobre els coeficients d'un element  x en un espai de Hilbert respecte a una seqüència ortonormal.

Sigui  H un espai d'Hilbert, suposi que  e_1, e_2, ... és una seqüència ortonormal en  H . Llavors, per a tot  x en  H s'ha de

 \sum_{k = 1}^{\infty} \left \vert \left \langle x, e_k \right \rangle \right \vert^2 \le \left \Vert x \right \Vert^2

on <·, ·> denota el producte interior en l'espai de Hilbert  H , Si nosaltres definim la suma infinita

 X '= \sum_{k = 1}^{\infty} \left \langle x, e_k \right \rangle e_k,

La desigualtat de Bessel ens diu que aquesta sèrie matemàtica convergeix.

Per a una seqüència ortonormal completa (és a dir, per una seqüència ortonormal que alhora és una base ortonormal de  H ), nosaltres tenim la identitat de Parseval, que reemplaça la desigualtat per una igualtat (i conseqüentment  x ' amb  x ).

En Àlgebra lineal la Desigualtat de Bessel estipula que donat un espai vectorial V amb producte interior definit, donada  \beta = \{\beta_{1}, \beta_{2}, ..., \beta_{n}\} un subconjunt ortonormal de V. Es compleix que per a tot x en V:

 \lVert x \lVert^{2}\geq \sum_{i = 1}^{n}\|\langle x, \beta_{i}\rangle \|^{2}

Nota[modifica | modifica el codi]