Desigualtat de Cauchy-Schwarz

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, la desigualtat de Cauchy-Schwarz, també coneguda com a desigualtat de Schwarz, desigualtat de Cauchy o desigualtat de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz és una desigualtat molt útil present en moltes àrees, tals com l'àlgebra lineal aplicada a vectors, en l'anàlisi aplicat a sèries infinites i integració de productes, i en teoria de probabilitats, aplicada a variàncies i covariàncies.

La desigualtat per sumes va ser publicada per Augustin Cauchy (1821), mentre que la corresponent desigualtat per a integrals va ser establerta per Viktor Yakovlevich Bunyakovsky (1859) i redescoberta per Hermann Amandus Schwarz (1888).

La desigualtat de Cauchy-Schwarz estableix que per a tot parell de vectors x i y d'un espai de producte intern real o complex,

|\langle x,y\rangle|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle.

De la mateixa manera, prenent l'arrel quadrada als dos costats i referint-se a la norma dels vectors, la desigualtat s'escriu:

|\langle x,y\rangle| \leq ||x|| \cdot ||y||.

Addicionalment, ambdós costats són iguals si, i només si, x i y són linealment dependents.

La desigualtat de Cauchy-Schwarz és usada per demostrar que el producte intern és una funció contínua respecte a la topologia induïda pel mateix producte intern. També s'utilitza per demostrar la desigualtat de Bessel.

La formulació general del principi d'incertesa de Heisenberg es deriva utilitzant la desigualtat de Cauchy-Schwarz en l'espai de producte intern de les funcions d'ona físiques.