Desigualtat de Jensen

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, la desigualtat de Jensen per funcions convexes relaciona el valor que assigna a una integral amb la integral d'aquesta mateixa funció permutant, per dir-ho, la funció i la integral. Va ser provada pel matemàtic danès Johan Jensen a 1906.[1] Donada la seva generalitat, la desigualtat apareix en múltiples contextos.

Formulació[modifica | modifica el codi]

En la seva formulació més simple, la desigualtat és la següent: una transformació convexa de la mitjana és menor o igual en valor que la mitjana d'una transformació convexa.

Formulació finita[modifica | modifica el codi]

Donada una funció convexa φ, nombres x 1 , x 2 , ..., x n en el seu domini i pesos positius a i es compleix que:

 \varphi \left (\frac{\sum a_i x_i}{\sum a_i}\right) \le \frac{\sum a_i \varphi (x_i)}{\sum a_i}.

Si els pesos a i són tots iguals a 1, llavors

 \varphi \left (\frac{\sum x_i}{n}\right) \le \frac{\sum \varphi (x_i)}{n}.

Per exemple, com la funció-log ( x ) és convexa, la desigualtat anterior es pot concretar en

 \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\ge \sqrt [n]{x_1 x_2 \cdots x_n}.

Formulació probabilística (dins de la teoria de la mesura)[modifica | modifica el codi]

Sigui (Ω, A , μ ) un espai mètric tal que μ (Ω) = 1. Si g és una funció real μ-integrable i φ una funció convexa en l'eix real, llavors:

 \varphi \left (\int_ \Omega g \, d \mu \right) \le \int_ \Omega \varphi \circ g \, d \mu.

En anàlisi real, pot ser necessària una estimació de

 \varphi \left (\int_a^bf (x) \, dx \right)

on  a, b són nombres reals i  f: [a, b] \to \mathbb{R} és una funció real integrable. Llavors, reescalat, es pot aplicar la desigualtat de Jensen per obtenir

 \varphi \left (\int_a^bf (x) \, dx \right) \le \int_a^b \varphi ((ba) f (x)) \frac{1}{b-a}\, dx.

La desigualtat de Jensen, usant la notació habitual en teoria de la probabilitat, pot reescriure així:

 \varphi \left (\mathbb{E}\{X \}\right) \leq \mathbb{E}\{\varphi (X) \}.

Aplicacions en casos especials[modifica | modifica el codi]

Quan hi ha una funció de densitat[modifica | modifica el codi]

Si f ( x ) és una funció no negativa tal que

 \int_{- \infty}^\infty f (x) \, dx = 1,

g és una funció real qualsevol i φ és una funció convexa sobre el rang de g , llavors

 \varphi \left (\int_{- \infty}^\infty g (x) f (x) \, dx \right) \le \int_{- \infty}^\infty \varphi (g ( x)) f (x) \, dx.

En cas que g sigui la funció identitat, s'obté

 \varphi \left (\int_{- \infty}^\infty x \, f (x) \, dx \right) \le \int_{- \infty}^\infty \varphi (x) \, f (x) \, dx.

Física estadística[modifica | modifica el codi]

La desigualtat de Jensen té un paper important en física estadística quan la funció convexa és l'exponencial perquè llavors

 e^{\langle X \rangle} \leq \left\langle e^X \right\rangle,

fórmula en la qual els els parèntesis angulars representen l'esperança que fa a la distribució de probabilitat de la variable aleatòria X .

Teoria de la informació[modifica | modifica el codi]

Si p ( x ) és la distribució de probabilitat veritable de x i q ( x ) és una altra distribució, aplicant la desigualtat a la variable aleatòria I ( x ) = q ( x )/ p ( x ) i la funció φ ( i ) =-log ( i ) s'obté

 \Bbb{E}\{\varphi (Y)\}\ge \varphi(\Bbb{E}\{Y\})
 \Rightarrow \int p (x) \log \frac{p (x)}{q (x)}\, dx \ge - \log \int p (x) \frac{q (x)}{p (x)}\, dx
 \Rightarrow \int p (x) \log \frac{p (x)}{q (x)}\, dx \ge 0
 \Rightarrow - \int p (x) \log q (x) \, dx \ge - \int p (x) \log p (x) \, dx,

que és l'anomenada desigualtat de Gibbs i està relacionada amb el fet que la longitud dels missatges és mínima quan es codifiquen en termes de la distribució veritable. Està relacionada amb el concepte de la divergència de Kullback-Leibler.

Notes[modifica | modifica el codi]

  1. Jensen, J. L. W. V.. «Sud els fonctions convexos et les inégalités entre les valeurs moyenne». Acta Mathematica, 30, 1906, p. 175-193. DOI: 10.1007/BF02418571.

Referències[modifica | modifica el codi]