Desigualtat de Màrkov

A teoria de la probabilitat, la desigualtat de Màrkov proporciona una fita superior per a la probabilitat que una funció no negativa d'una variable aleatòria sigui major o igual que una constant positiva. El seu nom li ve del matemàtic rus Andrei Màrkov.

La desigualtat de Màrkov relaciona les probabilitats amb l'esperança matemàtica i proporciona cotes útils-encara que habitualment poc ajustades-per a la funció de distribució d'una variable aleatòria.

Teorema [modifica]

La desigualtat de Màrkov afirma que si X és una variable aleatòria qualsevol i a > 0, llavors

$\textrm{Pr}(|X|\geq a)\leq\frac{\textrm{E}(|X|)}{a}.$

Prova [modifica]

Per a qualsevol succés A , sigui I _A la variable aleatòria indicatriz de A , és a dir, I _A = 1 si s'escau A i és 0 en el cas contrari. Llavors

$aI_{(X\geq a)}\leq X.\,$

Per tant

$\operatorname{E}(aI_{(|X|\geq a)})\leq\operatorname{E}(|X|).\,$

Ara, noti's que el costat esquerre d'aquesta desigualtat coincideix amb

$a\operatorname{E}(I_{(|X|\geq a)}) = a\Pr (|X|\geq a).\,$

Per tant tenim

$a\Pr (|X|\geq a)\leq\operatorname{E}(|X|)\,$

i com a > 0, es poden dividir dos costats entre a .

Prova alternativa [modifica]

Una prova més formal, relacionada amb l'anàlisi real, és la següent:

No s'ha pogut entendre (error de sintaxi): \Pr (|X|\geq a) =\int_a^\infty{f (x) dx}\leq\int_a^\infty{\frac{|x|}{a}f (x) dx}\leq\frac{1}{a}\frac{-\infty}^{\infty}{|x|f (x) dx}=\frac{\frac{E}(|X|)}{a}

A la introducció de $\frac{|x|}{a}$ , noti's que ja que estem considerant la variable aleatòria només en els seus valors iguals o majors a $a$ , $|X|\geq a$ i, per tant, $\frac{|X|}{a}\geq 1$ , de manera que en multiplicar $f (x) dx$ per alguna cosa més gran a un serà igual o més gran. La segona desigualtat ve d'afegir la suma No s'ha pogut entendre (error de sintaxi): \frac{-\infty}^a{|x|f (x) dx} , que sempre serà positiva ja que s'integra una cosa positiva com és el valor absolut (per: $f (x)$ que és positiva).