Desigualtat de Màrkov

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La desigualtat de Màrkov en teoria de probabilitat proporciona una fita superior per a la probabilitat que una funció no negativa d'una variable aleatòria sigui major o igual que una constant positiva. El seu nom li ve del matemàtic rus Andrei Màrkov. La desigualtat de Màrkov relaciona les probabilitats amb l'esperança matemàtica i proporciona cotes útils-encara que habitualment poc ajustades-per a la funció de distribució d'una variable aleatòria.

Teorema[modifica | modifica el codi]

La desigualtat de Màrkov afirma que si X és una variable aleatòria qualsevol i a > 0, llavors

\textrm{Pr}(|X|\geq a)\leq\frac{\textrm{E}(|X|)}{a}.

Prova[modifica | modifica el codi]

Per a qualsevol succés A , sigui I A la variable aleatòria indicatriz de A , és a dir, I A = 1 si s'escau A i és 0 en el cas contrari. Llavors

 aI_{(X\geq a)}\leq X.\,

Per tant

\operatorname{E}(aI_{(|X|\geq a)})\leq\operatorname{E}(|X|).\,

Ara, noti's que el costat esquerre d'aquesta desigualtat coincideix amb

 a\operatorname{E}(I_{(|X|\geq a)}) = a\Pr (|X|\geq a).\,

Per tant tenim

 a\Pr (|X|\geq a)\leq\operatorname{E}(|X|)\,

i com a > 0, es poden dividir dos costats entre a .

Prova alternativa[modifica | modifica el codi]

Una prova més formal, relacionada amb l'anàlisi real, és la següent:

No s'ha pogut entendre (error de sintaxi): \Pr (|X|\geq a) =\int_a^\infty{f (x) dx}\leq\int_a^\infty{\frac{|x|}{a}f (x) dx}\leq\frac{1}{a}\frac{-\infty}^{\infty}{|x|f (x) dx}=\frac{\frac{E}(|X|)}{a}

A la introducció de \frac{|x|}{a}, noti's que, ja que estem considerant la variable aleatòria només en els seus valors iguals o majors a  a , |X|\geq a i, per tant, \frac{|X|}{a}\geq 1 , de manera que en multiplicar  f (x) dx per alguna cosa més gran a un serà igual o més gran. La segona desigualtat ve d'afegir la suma No s'ha pogut entendre (error de sintaxi): \frac{-\infty}^a{|x|f (x) dx} , que sempre serà positiva ja que s'integra una cosa positiva com és el valor absolut (per:  f (x) que és positiva).