Desigualtat de Minkowski

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En anàlisi matemàtica, la desigualtat de Minkowski estableix que els espais Lp són espais vectorials amb una norma. Sia S un espai mesurable, sia 1 ≤ p ≤ ∞ i siguin f i g elements de Lp(S). Llavors f + g és de Lp(S), i es té

\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p

amb la igualtat pel cas 1 < p < ∞ si i només si f i g són positivament linealment dependents (el que vol dir que f = \lambda g o g = \lambda f per alguna \lambda ≥ 0).

La desigualtat de Minkowski és la desigualtat triangular en Lp(S).

Igual com la desigualtat de Hölder, la desigualtat de Minkowski es pot especificar per a successions i vectors a base de fer:

\left( \sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right)^{1/p}

per a tots els nombres reals (o complexos) x1, ..., xn, y1, ..., yn i on n és el cardinal de S (el nombre d'elements de S).

Demostració[modifica | modifica el codi]

Primer es demostra que f+g té una p-norma finita so f i g totes dues la tenen, això se segueix de

|f + g|^p \le 2^{p-1}(|f|^p + |g|^p)

En efecte, aquí es fa servir el fet que h(x)=x^p és una funció convexa sobre \mathbb{R}^+ (per a p més gran que 1) i per tant, si a i b són tots dos positius llavors

\left(\frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b\right)^p \le \frac{1}{2}a^p + \frac{1}{2} b^p

Això vol dir que

(a+b)^p \le 2^{p-1}a^p + 2^{p-1}b^p

Ara, es pot parlar legítimament de (\|f + g\|_p). Si és zero, Llavors es compleix la desigualtat de Minkowski. Ara, suposant que (\|f + g\|_p) no és zero. Fent servir la desigualtat de Hölder

\|f + g\|_p^p = \int |f + g|^p \, \mathrm{d}\mu
 \le \int (|f| + |g|)|f + g|^{p-1} \, \mathrm{d}\mu
=\int |f||f + g|^{p-1} \, \mathrm{d}\mu+\int |g||f + g|^{p-1} \, \mathrm{d}\mu
\stackrel{\text{H}\ddot{\text{o}}\text{lder}}{\le} \left( \left(\int |f|^p \, \mathrm{d}\mu\right)^{1/p} + \left (\int |g|^p \,\mathrm{d}\mu\right)^{1/p} \right) \left(\int |f + g|^{(p-1)\left(\frac{p}{p-1}\right)} \, \mathrm{d}\mu \right)^{1-\frac{1}{p}}
= (\|f\|_p + \|g\|_p)\frac{\|f + g\|_p^p}{\|f + g\|_p}

S'obté la desigualtat de Minkowski multiplicant els cos cantons per \frac{\|f + g\|_p}{\|f + g\|_p^p}.

Referències[modifica | modifica el codi]

  • Hardy, G. H. and Littlewood, J. E. and Pólya, G.. Inequalities. Reprint of the 1952 edition. Cambridge: Cambridge University Press, 1988, p. xii+324 (Cambridge Mathematical Library). ISBN 0-521-35880-9. 
  • H. Minkowski, Geometrie der Zahlen, Chelsea, reprint (1953)
  • M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104