Desigualtat de Txebixev

La desigualtat de Txebixev és un resultat de la teoria de la mesura amb grans aplicacions a l'estudi de la probabilitat i la estadística.

Aquest teorema pren el seu nom en honor a Pafnuti Txebixev, que proporcionà la primera demostració de la desigualtat formulada per Irénée-Jules Bienaymé.

Enunciat

Enunciat en el context de la teoria de la mesura

Sigui (X, Σ, μ) un espai mesurable i sigui f una funció real mesurable definida a X. Aleshores, per a tot nombre real t > 0,

$\mu(\{x\in X\,:\,\,|f(x)|\geq t\}) \leq {1\over t^2} \int_X f^2 \, d\mu.$

De forma més general, si g és una funció real mesurable, no-negativa i creixent al rang de ƒ, aleshores

$\mu(\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\}) \leq {1\over g(t)} \int_X g\circ f\, d\mu.$

Podem obtenir la primera de les formulacions definint g(t) com

$g(t)=\begin{cases}t^2&\text{si }t\geq0\\ 0&\text{en cas contrari,}\end{cases}$

i agafant |ƒ| en lloc de ƒ a la segona expressió.

Enunciat probabilistic

En tant que un espai de probabilitats és un espai de mesura 1, retrobem un cas particular de la Desigualtat de Txebixef:

Sigui X una variable aleatòria no-negativa i $f: \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R}_{+}$ una funció creixent tal que $E[f(X)] < \infty$ (on $E[f(X)]$ indica l' esperança de la variable aleatòria f(X)). Aleshores, per tot nombre real a es té:

$f(a)P\{X \geq a \} \leq E[f(X)]$

Una versió menys general d'aquesta desigualtat que trobem a diverses obres de referència és

$P\{|X - E[X]| \geq a \} \leq \frac{\sigma^2(X)}{a^2}$

on $\sigma$ indica la desviació típica de 'X'.

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Desigualtat de Txebixev