Desigualtat entre les mitjanes aritmètica i geomètrica

En matemàtiques, es coneix com a desigualtat entre les mitjanes aritmètica i geomètrica aquella desigualtat que estableix que la mitjana aritmètica d'un conjunt de nombres reals positius és major o igual que la mitjana geomètrica del mateix conjunt.

Mitjana aritmètica i mitjana geomètrica

La mitjana aritmètica d'un conjunt ${x_1,x_,\cdots ,n}\in\mathbb R^+$, és igual a la suma dividida pel nombre total d'elements,

$\frac{x_1+x_2\cdots+x_n}{n}$

La mitjana geomètrica d'un conjunt ${x_1,x_,\cdots ,n}\in\mathbb R^+$ , és igual a l'arrel n-éssima del producte de tots ells.

$\sqrt[n]{x_1x_2 \cdots x_n}$

La desigualtat

Siga ${x_1,x_,\cdots ,n}\in\mathbb R^+$ ,

$\frac{x_1+x_2\cdots+x_n}{n}\geq\sqrt[n]{x_1x_2 \cdots x_n}$

Complint-se la igualtat si i només si ${x_1 = x_2 = \cdots = x_n}$

$\frac{x_1+x_2\cdots+x_n}{n}=\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}$

Demostració per inducció

Per a demostrar la desigualtat MA-MG, es desenvolupara pel mètode d'inducció matemàtica, demostrant que la MA-MG és certa per a 2 elements, després generalitzant-lo per a 2n elements i demostrant que si certa per a n és certa per a n+1 elements.

Siga ${x_1,x_,\cdots ,n}\in\mathbb R^+$ , un conjunt de n elements ,

Procedim a considerar el primer pas en que n=2

$\frac{x_1 + x_2 }{2}\geq\sqrt[2]{x_1 x_2}$

$\frac{(x_1 + x_2)^2 }{4}\ge x_1 x_2$

$(x_1 + x_2)^2 \ge 4x_1 x_2$

$x_1^2+2x_1x_2+x_2^2 \ge 4x_1 x_2$

$x_1^2-2x_1x_2+x_2^2 \ge 0$

$(x_1-x_2)^2\ge0$

Quedant així demostrat per a n=2, després se demostra que si certa per a 2 es certa per a 2n elements.

$\frac{x_1+x_2\cdots+x_{2n}}{2n}\geq\sqrt[2n]{x_1 x_2 \cdots x_{2n}}$

$\frac{\frac{(x_1+x_2+\cdots+x_{n+1})}{n}+\frac{(x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots+x_{2n})}{n}}{2}\ge \sqrt[2]{\frac{(x_1+x_2+\cdots+x_{n+1})}{n}\frac{(x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots+x_{2n})}{n}}$

Seguint la hipòtesi,

$\frac{x_1+x_2\cdots+x_n}{n}\geq\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}$

Se seguix que,

$\frac{\frac{(x_1+x_2+\cdots+x_{n+1})}{n}+\frac{(x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots+x_{2n})}{n}}{2}\ge \sqrt[2]{\sqrt[n]{(x_1x_2\cdots x_{n+1})} \sqrt[n]{(x_{n+1}x_{n+2}\cdots x_{2n})}}$

Sent açò igual a,

$\frac{x_1+x_2\cdots+x_{2n}}{2n}\geq\sqrt[2n]{x_1 x_2 \cdots x_{2n}}$

Quedant així demostrat que si és cert per a 2 elements és cert per a 2n elements.

Ara procedim a demostrar que si és certa per a n elements és certa per a n-1 elements,

Sea ${x_1,x_,\cdots ,{n-1}}\in\mathbb R^+$ y $\frac{x_1+x_2\cdots+x_{n-1}}{n-1}$

Se considera la desigualtat de tots els elements esmentats,

$\frac{x_1+x_2+\cdots x_{n-1} +\frac{x_1+x_2\cdots+x_{n-1}}{n-1}}{n}\geq\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_{n-1}\frac{x_1+x_2\cdots+x_{n-1}}{n-1}}$

$\frac{(n-1)x_1+(n-1)x_2+\cdots +(n-1)x_{n-1} +x_1+x_2\cdots+x_{n-1}}{(n-1)n}\geq\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_{n-1}}\sqrt[n]{\frac{x_1+x_2\cdots+x_{n-1}}{n-1}}$

$\frac{nx_1+nx_2+\cdots +nx_{n-1}}{(n-1)n}\geq\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_{n-1}}\sqrt[n]{\frac{x_1+x_2\cdots+x_{n-1}}{n-1}}$

$\frac{x_1+x_2+\cdots +x_{n-1}}{n-1}\geq\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_{n-1}}\sqrt[n]{\frac{x_1+x_2\cdots+x_{n-1}}{n-1}}$

$(\frac{x_1+x_2+\cdots +x_{n-1}}{n-1})^\frac{n-1}{n}\geq ({x_1x_2\cdots x_{n-1}})^{\frac{1}{n}}$

$(\frac{x_1+x_2+\cdots +x_{n-1}}{n-1})^\frac{n-1}{1}\geq ({x_1x_2\cdots x_{n-1}})$

Fent arrel n-1-èssima se seguix,

$(\frac{x_1+x_2+\cdots +x_{n-1}}{n-1})\geq ({x_1x_2\cdots x_{n-1}})^\frac{1}{^n-1}$

Quedant així demostrat pel mètode inductiu, la veracitat de la desigualtat MA-MG.

$\frac{x_1+x_2\cdots+x_n}{n}\geq\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} , \forall n \in\mathbb N$ Q.E.D.

Vegeu també

• Inequació