Diagrama de Penrose-Carter

Diagrama de Penrose-Carter d'un espai-temps de Minkowski infinit. Elimina dues dimensions espacials i concentra en una regió finita (en aquest cas amb forma de diamant) la resta mitjançant l'efecte d'una transformació conforme.

En física teòrica, en intentar representar pictòricament un espai-temps sorgeixen dos problemes:

• l'espai-temps és una varietat de dimensió 4. Es pot obviar això utilitzant les seves simetries, en cas que en tingui, i representar una subvarietat de dimensió 2. Per exemple, per un espai-temps esfèricament simètric tots els punts d'una 2-esfera són equivalents i es poden representar per un sol punt d'un diagrama.
• les seves coordenades s'estenen fins a l'infinit. Això pot resoldre's substituint l'espai-temps físic per un espai no físic (aquest diagrama) conforme amb el primer.

Ambdós problemes queden resolts amb els diagrames coneguts com diagrames conformes, diagrames de Penrose-Carter o simplement diagrames de Penrose, diagrames bidimensionals que conserven la informació sobre les relacions causals entre diversos punts de l'espai-temps i permeten representar regions infinites en diagrames finits. Per fer-ho, sacrifiquen informació sobre les distàncies entre punts. La mètrica dels diagrames de Penrose-Carter és conformement equivalent amb una restricció bidimensional de la mètrica real de l'espai-temps que representen. El factor conforme és elegit de manera que tot l'espai-temps es projecti en un diagrama de dimensions finites. La frontera de la nova figura no formarà part de l'espai-temps original, però permetrà estudiar-ne les propietats asimptòtiques i singularitats.

Anomenat així en homenatge al físic matemàtic Roger Penrose, per utilitzar-los per primera vegada el 1962 i al seu col·lega Brandon Carter, que els sistematizà el 1966,un diagrama de Penrose-Carter comparteix diverses característiques amb l'espai-temps de Minkowski: les línies obliqües a 45° corresponen a trajectòries lluminoses, la dimensió vertical representa una coordenada temporal i l'horitzontal les dimensions espacials.

Exemples

Espai de Minkowski

Per representar el diagrama conforme d'un espai de Minkowski, es pot pensar en l'expressió de la seva mètrica plana en coordenades esfèriques, i restringir-se a la subvarietat coberta per les coordenades r i t. Aquestes coordenades abasten un rang infinit. Un primer intent d'aconseguir que cobreixin un rang finit seria utilitzar les noves coordenades $T=arctg t$ i $r=arctg r$. Però això no aconseguiria mantenir els cons de llum del diagrama a 45º. Per aconseguir-ho, es realitza un triple canvi de coordenades:

• En primer lloc, el canvi a les coordenades nul·les $u= t-r$, $v=t+r$.
• Sobre elles, es fa el canvi $U=\arctan {u}$, $V=\arctan{ v}$.
• Finalment, es torna a les coordenades $T=U+V$, $R=V-U$.

La mètrica en aquestes coordenades queda expressada por:

$ds^2=\frac{1}{\omega(T,R)^2}(-dT^2+dR^2+sen^2Rd\Omega^2)$

on

$\omega = \cos{T}+\cos{R}\,$.

En lloc d'aquesta mètrica, que s'anomena $g_0$, al diagrama de Penrose es representa la mètrica conforme $\omega^2 g_0$. Com les coordenades abasten els rangs: $-\pi<R+T<\pi \,, ; -\pi<R-T<\pi$, el diagrama tindrà forma de diamant (o de triangle si s'afegeix la condició que R sigui positiu).

Espai de Schwarzschild

Diagrama de Penrose d'un espai-temps de Schwarzschild. L'eix horitzontal representa la coordenada espacial v i el vertical la coordenada temporal u (no s'han de confondre amb les coordenades nul·les de l'espai de Minkowski).

La figura mostra la representació d'un espai de Schwarzschild corresponent a un forat negre estàtic (sense rotació). La coordenada vertical anomenada «u» és la temporal, mentre que que la coordenada horitzontal «v» és espacial. El diagrama de Penrose és conforme, és a dir, les geodèsiques de gènere nul (línies de llum) corresponen a les mitja-primera i segona bisectrius «altes».

D'aquest sistema de coordenades derivat del de Kruskal es té:

$ds^2=\frac{32 M^3}{r} \frac{e^{-\frac{r}{2M}}(-du^2+dv^2)}{4 cos^2 \frac {1}{2}(u+v) cos^2 \frac {1}{2} (u-v)} + r^2 (d \theta^2 + sin^2 \theta d \phi^2)$

El diagrama fet aleshores per abstracció de dues coordenades esfèriques $\theta$ i $\phi$. Els cons de llum delimitats per les geodèsiques nul·les (ds² = 0) corresponent a du² = dv², aleshores {u = v} o {u = -v}, és a dir, les bisectrius primera i segona.

Partint de l’esquerra, dues rectes (primera i segona bisectrius) divergeixen : la recta de més avall , anomenada I-, representa «l'infinit del passat», d'ella provenen tots els mòbils des de l'infinitament llunyà; la recta de més amunt, I+, correspon a «l'infinit del futur» i representa el lloc cap on es dirigeixen tots els mòbils que es distancien per sempre d'un forat negre. Les dues rectes horitzontals i paral·leles representen la singularitat gravitatòria (en el pas del passat al futur), situat en r = 0. aquest diagrama és simètric per relació amb la vertical. En línia discontínua es representa l'horitzó d'un forat negre ubicat (en unitats convencionals) a r = 2M.

Enllaços externs

• Penrose Diagram - www.pas.rochester.edu (anglès)

Vegeu també

• Singularitat espai-temps