Dimensió

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
No s'ha de confondre amb Acotació.
Aquests dibuixos representen diferents objectes segons les seves dimensions.

Una dimensió d'un element és, en àlgebra i geometria, el nombre de valors propis independents que té la matriu que el caracteritza. A la pràctica, per a la vida quotidiana, serien les mides que necessitem d'un objecte per a poder descriure'l: per exemple, un paper o una pissarra, si considerem que el gruix no és important, podem pensar-los com a objectes de dues dimensions: l'alçada i l'amplada. Si el gruix ens interessa caldrà tenir en compte també el gruix o profunditat. En general, considerem que les coses amb volum (persones, animals, etc.) tenen tres dimensions, les planes (dibuixos animats o de còmics, etc.) en tenen dues, les rectes una i els punts no tenen cap dimensió.

Cal tenir en compte que la dimensió d'un element depèn de la dimensió de l'espai en el qual es troba. Per exemple, una roca al fons del mar, en un món tridimensional, té tres dimensions, però en un món de dues dimensions (per exemple, si en fem un dibuix) en té només dues. Un peix, al mar, podria passar nedant per sobre de la roca o pel costat però al dibuix només per un dels dos, segons si el dibuix està vist des de dalt (llavors pot fer voltes al voltant, però no passar per sobre) o de costat, com si estem drets al fons del mar (llavors no podria passar per devant ni per darrere, només per damunt de la roca).

Etimologia[modifica | modifica el codi]

El mot català dimensió prové del llatí dimensio, que significa "mesura".

Dimensions a diferents camps[modifica | modifica el codi]

En àlgebra qualsevol espai i objecte poden tenir infinites dimensions. En geometria també, tot i que després ens és dificil representar les figures que tenen quatre o més dimensions, tret d'alguna molt simple, com l'esfera i el cub en quatre dimensions. En física teòrica també podem imaginar que el nostre Univers té més de tres dimensions, i explicar així, per exemple, fenòmens com la gravetat i el magnetisme.

Però la nostra percepció, psicologia i enteniment, a la vida quotidiana i per a questions pràctiques, compren el món com a tridimensional, amb objectes de tres dimensions també. Per aquest motiu, a la tecnologia, tècnica i la majoria d'arts i artesanies els estudis, càlculs, projectes, realitzacions, etc. es fan tres dimensions. De vegades, en aprenentatge (a l'escola) o en tecnologia, per a simplicar càlculs i guanyar temps i diners, podem considerar que un element és de dues, o fins i tot una sola dimensió; o considerar que es troba en un espai bidimensional (un pla) o unidimensional (una recta), sense que el resultat final sigui menys exacte. Els conceptes de punt, recta i àrea son producte de la nostra imaginacio i cultura, no són coses que podem percebre a la realitat.

Les representacions gràfiques actuals (en dibuixos i modelitzacions diverses, fotografia, cinema, videojocs, ecografies, etc.) són bidimensionals (en 2D, en dues dimensions), i fins i tot les dites en 3D o tres dimensions en realitat continuent sent-lo en dues, tot i que "millor dibuixades". La representació gràfica (per tant en una superfície plana, de dues dimensions) de la tercera dimensió, o de vegades dita de la profunditat, en art, s'intenta a l'Europa moderna des del Renaixement, després que les pintures planes romàniques, gòtiques i bizantines haguessin tornat de la pintura clàssica (romana i grega) les dues dimensions. Leonardo da Vinci hagués pogut dir, si el terme hagués estat de moda a la seva època, que les seves pintures eren "en 3D".

Dimensions d'objectes, de medis i d'equacions[modifica | modifica el codi]

Els espais, medis o universos als quals succeeixen fenòmens poden tenir diferents dimensions. Els éssers humans estem fets per a entendre naturalment tres al nostre món, els referents a amplada, alçada i profunditat. Per a nosaltres, els elements d'aquest espai tridimensional son també de tres dimensions.

En desenvolupar l'àlgebra i la geometria, hem inventat espais de dues i d'una dimensió: un espai de dues dimensions és pla, i només hi caben coses de dues, una o cap dimensió. Un espai d'una dimensió és una recta, on no hi caben cossos de dues ni tres ni més dimensions. Un espai de cap dimensió és un concepte teòric al qual només hi caben elements iguals a ell mateix. Hom va inventar els vectors, els espais vectorials, les matrius, els valors i vectors propis,... Més tard, per a aplicacions matemàtiques diverses, vam necesitar vectors, espais, matrius, etc.; primer de quatre, més tard de més dimensions, i de fet, per analogia i per a explicar-les de manera general, podem pensar en espais de qualsevol dimensió.

En tecnologia, ciència, modelització, simulació i altres àrees sovint ens cal crear equacions que descriuen un fenomen. Aquestes equacions poden tenir una o més dimensions. Cada una es pot tractar per separat, independentment de les altres. Com per exemple, quan volem fer l'equació del moviment d'un tir parabòlic per a conèixer la velocitat "vertical" i "horitzontal" d'una bala. Es pot dissenyar una equació del moviment per a cada dimensió "geomètrica" de cada cos pressent a l'espai d'estudi. Cap cos no pot tenir un nombre major de dimensions geomètriques que el de l'espai al qual es troba, perquè "no hi caben". Per exemple, en un espai de tres dimensions només pot haver elements de fins a tres dimensions, però no de més.

Dimensions geomètriques[modifica | modifica el codi]

Tot cos o part d'ell té unes dimensions que descriuen la seva forma o geometria. En el cas d'un quadrat, per exemple, aquestes són l'amplada i l'alçada. En el cas d'un triangle, que també és una figura plana, la dimensió d'alçada és constant però la seva amplada és variable, ja que és màxima a la base i va disminuint fins a ser zero. En una persona és fàcil mesurar l'alçada, però l'amplada i profunditat se solen mesurar com al perímetre de la persona en un pla perpendicular a l'eix vertical (o alçada) que, com també és variable, cal ser especificat: de cintura, de malucs, de pit, de cap, etc.

En general, si no estem fent teories matemàtiques, físiques o de ciència-ficció, el nostre cervell, sense haver estudiat res i naturalment, entén sempre el món com un espai de tres dimensions al qual els elements, objectes, persones, animals, etc. són també de tres dimensions. Necessitem de tres dimensions per a percebre un volum. De vegades, també podem imaginar o considerar que una dimensió és tan petita que és com si no hi fos, i llavors no té volum, només àrea, i per tant dues dimensions. En altres casos, per exemple en alguna cosa que veiem de molt lluny, la podem considerar com a un punt, sense àrea ni volum per tant, és a dir d'una sola dimensió.

Tres dimensions[modifica | modifica el codi]

Un objecte amb volum, no pla, necessita almenys tres dimensions per a ésser descrit, ja que calen tres mesures (corresponents a les seves mesures d'alçada, amplada i profunditat) per a descriure'l. Qualsevol d'aquestes mesures pot ser constant (com al cas del quadrat) o no (com al cas de l'alçada del triangle). Amb un origen de referència i tres mesures (o distàncies respecte a aquest origen) podem situar qualsevol punt que volguem de dins d'aquest objecte. De tres dimensions són el cub, l'esfera, el toroide, una cadira de muntar, un tub fet amb un full de paper enrotllat, un cabell arrissat, un nen, una mà, una casa, etc.

Si el volum varia amb el temps (un fluid que es contrau o s'expandeix), un material tou que modifica la seva forma (per exemple, si enfonsem el dit en un bloc de plastilina), etc. llavors cal tenir en compte també el temps, ja que aquests canvis es descriuen amb derivades i integrals de les seves tres dimensions respecte al temps, però l'objecte no deixarà de tenir tres dimensions.

Una línia pot tenir tres dimensions, per exemple una que tingui forma de molla; ja que per a definir cada punt que la forma necessito conèixer on es troba respecte a tres mesures diferents. En dues dimensions només podria dibuixar un cercle, o una espiral bidimensional. Una superficie no plana té tres dimensions, per exemple un paper arrugat, plegat o enrotllat; el terrat típic d'una caseta en forma de pic, etc. ja que necessitaria tres mesures (els punts del paper que no toquen la taula tenen una alçada) per a situar cada punt que els formen. Amb dues dimensions només puc definir un paper "planxat", però no les arrugues, plecs i corbes, ni tampoc una bola de paper.

Dues dimensions[modifica | modifica el codi]

En un espai bidimensional, un objecte pla té dues dimensions, ja que calen dues mesures (amplada i alçada) per designar qualsevol dels seus punts. En un espai tridimensional, en una base de referència (coordenades) adient, l'objecte pla es pot descriure amb aquestes dues mesures i un zero. De dues dimensions són les circumferències, quadrats, triangles, rombos, una corba sinusoidal, un dibuix d'una casa, etc.

Un paper en realitat té tres dimensions, ja que, tot i que molt petit, té un cert gruix, pero podem considerar que és nul, o simplement no ens interessa, i tenir en compte només les dues de la superficie major. Un paper arrugat té tres dimensions, ja que si fem un dibuix, segons els plecs, els punts a llapis estaran sobre la taula o una mica més amunt. Una piscina, per exemple, encara que tingui molkta profunditat, podem considerar que és plana si només ens interessa la seva superficie, per exemple per saber d'on on neden les persones. També podem considerar que la superfície de la terra és plana, si volem anar d'un lloc a un altre d'un poble o ciutat, pero les mesures en línia recta no ens valdran si hem de pujar i baixar muntanyes, per exemple. O, per exemple, si un avió va d'Europa a Amèrica, no l'afectaran les muntanyes ni el relleu, però, fins i tot si considerem que sempre vola a la mateixa alçada respecte al mar, no farà una trajectoria recta; sinó corba al voltant d'una esfera.

Una línia no recta pero que es mou sempre sobre un mateix pla imaginari també té dues dimensions, ja que cada punt d'ella pot estar més a l'inici o més al final, però també més amunt o més avall, és a dir, que necessito dues mesures per a conèixer on està cada punt que la forma.

Una dimensió[modifica | modifica el codi]

Un objecte lineal recte té una sola dimensió, ja que només ens cal una mesura (llargària). Si fem servir coordenades radials, un cecle també tindria una sola dimensió, ja que amb només conèixer el radi ja estaria definit.

La majoria de línies són pero de dues o tres dimensions, com per exemple la línia de la trajectoria d'un cotxe que es mou en una carretera que en algun moment giri a dreta o esquerra, o si el cotxe canvia de carril, va per rotondes, etc. (dues dimensions) i si a més la carretera té pendents ja seria de tres dimensions. Pero de vegades va bé considerar només una dimensió. Per exemple, si en una piscina amb carrils volem estudiar els nedadors que es desplacen a cada un d'ells, no ens cal tenir en compte la fondària de la piscina, i podem fixar-nos només en com avança cada persona al llarg d'un carril, que seria una línia recta. En aquest cas, estem considerant que la piscina és d'una sola dimensió.

Cap dimensió[modifica | modifica el codi]

Un objecte es considera puntual (com un punt) quan tant ens faci la seva mida i forma, i per tant no té cap dimensió, no necessitem cap mesura per a definir-lo, un punt és sempre un punt. A més, una vegada s'ha designat el punt, no es necessita cap paràmetre per trobar l'unic punt que pertany al punt.

A la realitat, un ens físic que té dimensió zero no es pot mesurar i no existeix. Pero sovint ens convé considerar obectes com a punts. Per exemple, quan estudiem la trajectoria que farà un cotxe per anar d'un lloc a un altre (per saber quan trigaré, quant combustible cremaré, quant em costarà, per on haig d'anar, etc.) tant ens fa la forma que tingui el cotxe, si és llarg o curt, alt o baix, no necessito cap mesura geomètrica sobre ell; és a dir, l'estic considerant com a un punt de dimensió zero, zero dimensions o adimensional. En canvi, si sabent la velocitat que marca el velocímetre volgués conèixer la velocitat (que és diferent!) que té el punt més amunt de la roda, sí que caldria conèixer les distàncies entre aquest punt i el terra (o el radi de la roda), a més d'altres informacions de la geometria de diferents parts del cotxe, és a dir que necessitaria considerar-lo com a sòlid rígid de tres, o com a poc dues, dimensions.

Dimensions majors a tres[modifica | modifica el codi]

Parlem de quelcom n-dimensional o que té n dimensions, sent n un nombre natural, per referir-nos a casos generals, teòrics, als quals n pot ser qualsevol nombre natural. Inclou, doncs, els casos d'una dimensió, dues, tres, quatre, cinc, sis, etc.

Es pot teoritzar, calcular i obtenir resultats en mons imaginats amb més de tres dimensions geomètriques, però aquestes matemàtiques no es poden aplicar a usos pràctics i les teories no es poden comprovar directament a partir de mesures: com medeixo una imaginada quarta o cinquena dimensió d'una cadira? o de l'Univers? Les dimensions superiors a tres només poden existir al nostre intel·lecte i, existents o no, poden donar lloc a interessants teories físiques (verdaderes o no) i inspirar no menys interessants relats de ciència-ficció.

Temps[modifica | modifica el codi]

El temps és una dimensió que ens serveix per a descriure un cos o conjunt de cossos, un fenomen, etc. com "en una pel·lícula", en comptes de com "en una foto". Sense el temps com a dimensió només podem tenir "fotos", és a dir, estats concrets en un instant precís.

En alguns casos, una "foto" ens és suficient per a obtenir el que volem; en altres podem extreure tota la informació que ens cal a partir de "fotos" en dos o més instants, ja que ens serà fàcil extreure els punts intermedis a partir d'elles; amb una "pel·lícula" podem conèixer millor un fenomen, fer una modelització i, de vegades, simulacions a partir d'ella i estimacions de futur. El temps però, no és una dimensió pròpia de cap objecte ni de cap medi al qual es pugui trobar, només serveix per a veure com evolucionen.

Física[modifica | modifica el codi]

En física, el terme dimensió pot reagrupar dues nocions completament diferents:

  • parlem de dimensió en el sentit matemàtic, aplicant-lo a la realitat fisica, com per exemple, un armari té tres dimensions: alçada, amplada i profunditat o considerem que un vehicle és un punt que es mou a un paper estirat sobre la taula, o sigui que és d'una sola dimensió i que es troba en un espai de dues;
  • i també alguns podrien anomenar dimensions fisiques les propietats mesurables quantitativament, com per exemple, "podem conèixer la pressió d'un gas a partir del seu volum i temperatura, pero no amb una sola d'aquestes dues dimensions". En aquest segon cas però és molt més correcte parlar de magnituds físiques.

Dimensió d'un espai vectorial[modifica | modifica el codi]

En física és imprescindible usar la noció geomètrica de dimensió d'un objecte, com la de la base del sistema de referència i la de l'espai o univers al qual es troba. Així, per exemple, a les equacions del moviment en mecànica clàssica se solen usar vectors de quatre dimensions; que són la posició en l'espai (alçada, amplada, profunditat) i el temps (ja que aquesta posició pot diferir en cada instant de temps); per a ubicar un punt a l'espai i caracteritzar la seva situació i el seu moviment (trajectòria, velocitat, acceleració, girs, rotacions, etc.).

En física teòrica, així com en àlgebra i geometria, un espai (incloent, a la fisica, l'Univers al qual vivim) i un objecte qualsevol poden tenir més de tres dimensions espaials, però el temps es considera sempre d'una sola dimensió, de la qual per cert no podem conèixer a quina velocitat va. Teòricament, res no ens impedeix, per exemple, imaginar cosos de cinc, trenta o centenars de dimensions i fer-ne les equacions del moviment, en un espai d'almenys les mateixes dimensions. Malgrat que té la mateixa dificultat, no superior, que fer-ho en tres o menys, no ens aporta cap informació d'aplicació pràctica per què el nostre cervell no veu, toca ni entén una cadira, per exemple, en quatre o més dimensions.

Programació[modifica | modifica el codi]

Les dimensions són represes en modelització informàtica (objecte 2D i objecte 3D).

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Viccionari Vegeu Dimensió en el Viccionari, el diccionari lliure.