Discussió:Teorema del límit central

En la redacció actual, falta definir que és T0, que suposo que deu ser la suma, però tal com està posat no es veu massa clar.--Pere prlpz 21:33, 18 jul 2007 (CEST)

Justificació del canvi de nom, al Termcat -no neoloteca-:

teorema del límit central <Estadística>

• ca teorema del límit central, m
• es teorema central del límite <<-- flipau amb la versió interferent espanyola!
• es teorema del límite central
• en central limit theorem

Definicions ca: Teorema que indica que, sota certes condicions, la mitjana aritmètica de variables aleatòries independents tendeix a una distribució normal a mesura que el nombre de variables augmenta.

Un altre cas com un cabàs... --Jol 19:05, 21 jul 2007 (CEST)

Admeto que la referència del Termcat és vàlida, però no és la única. El nom utilitzat a tot arreu, incloent entre d'altres llicenciatura de matemàtiques, enginyeries, acadèmies, i llibres de text, és Teorema central del límit, i crec que és el nom que hauria d'aparèixer. El Termcat no és infal·lible. --Meldor 22:38, 23 jul 2007 (CEST)

Em permeto fer notar (no prenc partit) qu'en italià es diu "teorema del limite centrale", en portuguès "teorema do limite central" i en francès "théorème de la limite centrale" (a vegades "théorème central limite", però es considera un anglicisme). Aquesta denominació es justifica així (en italià, en portuguès i en francès): una variable aleatòria amb valor esperat nul és anomenada resp. "variabile casuale centrata", "variável aleatória centrada", "variable aléatoire centrée" ; per consegüent, l'adjectiu "central" fa referència al límit (d'una successió de variables aleatòries estandarditzades, i per tant "centrades"), i no fa referència al teorema. Vivarés 00:13, 24 jul 2007 (CEST)

Estic d'acord amb tots dos: amb Meldor en el fet que "el Termcat no és infal·lible" -però cal rebatre'l molt i molt argumentadament, no pens que basti la generalitat de l'ús-, i amb tot el raonament de Vivarés. No havia fet aquí l'estudi comparatiu entre llengües, que em sembla completament oportú i coherent amb les altres discussions en marxa, perquè sembla que tothom prefereix una cita del DIEC, o del Termcat, si és possible. En aquest cas, hi era. Per als casos en què no hi sigui, però, cal que seguim qualque criteri consistent. Alerta, potser, amb la interferència interna del teorema fonamental de l'àlgebra, en què el que és fonamental és el teorema -no l'àlgebra!- i, per tant, allà sí que l'ordre adequat és el que hi ha. --Jol 10:13, 24 jul 2007 (CEST)Salut!

Vaig enviar un correu a la Societat Catalana de Matemàtiques, que es pot veure aquí, on em van dir que el nom que s'usava era Teorema central del límit. Actualment s'està discutint a la Taverna (Teoria de/ls jocs i similars), per si hi esteu interessats. --Meldor 15:16, 23 oct 2007 (CEST)

Enunciat (precís) del teorema

L'enunciat del teorema del límit central necessita la definició prèvia de la noció de convergència en distribució d'una successió de variables aleatòries, o almenys ha de fer referència a aquella noció.

L'enunciat més elemental és aquest :

donada una successió $(X_{n})$ de variables aleatòries independents, de quadrat integrable, amb la mateixa distribució, es posa $\mu =E(X_{n})$ i $\sigma ={\sqrt {Var(X_{n})}}$ ; si es defineix $S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}$, aleshores la successió

${\big (}S_{n}^{\ast }{\big )}=\left({\frac {S_{n}-E(S_{n})}{\sqrt {Var(S_{n})}}}\right)=\left({\frac {S_{n}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}\right)$

convergeix en distribució cap a la distribució normal ; altrament dit :

$\forall t\in \mathbb {R} ,P(S_{n}^{\ast }\leq t)\to \Phi (t)$ quan $n\to +\infty$,

on $\Phi$ és la funció de distribució normal.

L'afirmació de l'article : "la variable aleatòria $X={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ té aproximadament una distribució normal" no és el teorema (no té cap sentit matemàtic precís) ; és una interpretació del teorema (vegeu l'article de la wikipedia italiana o de la wikipedia francesa per exemple). Vivarés 02:09, 22 jul 2007 (CEST)

Hola, fas bé de comentar-ho a la discussió però si realment penses que l'article és incorrecte pots corregir-ho sobretot si ho fas en un tema on es percep que tens amplis coneixements. Tot i així, i tenint en compte que la wiki és una enciclopedia i no un recull de teoremes matemàtics, m'agrada bastant la forma de presentar-ho a la wiki anglesa. T'ho enganxo, a veure que en penses:

A central limit theorem is any of a set of weak-convergence results in probability theory. They all express the fact that any sum of many independent and identically-distributed random variables will tend to be distributed according to a particular "attractor distribution". The most important and famous result is called The Central Limit Theorem which states that if the sum of the variables has a finite variance, then it will be approximately normally distributed (i.e., following a normal or Gaussian distribution).

Since many real processes yield distributions with finite variance, this explains the ubiquity of the normal probability distribution.

Several generalizations for finite variance exist which do not require identical distribution but incorporate some condition which guarantees that none of the variables exert a much larger influence than the others. Two such conditions are the Lindeberg condition and the Lyapunov condition. Other generalizations even allow some "weak" dependence of the random variables. Also, a generalization due to Gnedenko and Kolmogorov states that the sum of a number of random variables with power-law tail distributions decreasing as 1/|x|α+1 with 0 < α < 2 (and therefore having infinite variance) will tend to a symmetric stable Lévy distribution as the number of variables grows. This article will only be concerned with the central limit theorem as it applies to distributions with finite variance.

Salutacions cordials i t'animo a que editis l'article millorant aquestes imprecisions que has trobat.--GillesV 03:56, 22 jul 2007 (CEST)

He fet algunes modificacions. Encara que la wiki no sigui un recull de teoremes matemàtics, un article de matemàtiques intitulat Teorema de... almenys ha d'enunciar el teorema (i potser demostrar-lo). Salutacions cordials. --Vivarés 13:49, 22 jul 2007 (CEST)