Disjunció exclusiva

Diagrama de Venn per $~A \oplus B$ $~\oplus~$ $~\Leftrightarrow~$

Diagrama de Venn per a $~A \oplus B \oplus C$ $~\oplus~$ $~\Leftrightarrow~$

El operador lògic Disjunció exclusiva també anomenat o exclusiva, simbolitzat com XOR,EOR,EXOR, ⊻ o ⊕ és un tipus de disjunció lògica de dos operands que és veritat si només un operand és veritat però no ambdós.

Equivalències, simplificació, i introducció

La disjunció exclusiva $p \oplus q$ es pot expressar en termes de conjunció lògica ($\wedge$), disjunció lògica ($\lor$), i negació ($\lnot$) de la següent manera:

$\begin{matrix} p \oplus q & = & (p \land \lnot q) \lor (\lnot p \land q) \end{matrix}$

La disjunció exclusiva $p \oplus q$ pot ser expressada de la següent manera:

$\begin{matrix} p \oplus q & = & \lnot (p \land q) \land (p \lor q) \end{matrix}$

Aquesta representació del XOR pot ser útil en la construcció d'un circuit o una xarxa, ja que només té un operador $\lnot$ i un nombre reduït d'operadors $p \oplus q$ i $\lor$. La prova d'aquesta identitat és la següent:

$\begin{matrix} p \oplus q & = & (p \land \lnot q) & \lor & (\lnot p \land q) \\ & = & ((p \land \lnot q) \lor \lnot p) & \and & ((p \land \lnot q) \lor q) \\ & = & ((p \lor \lnot p) \land (\lnot q \lor \lnot p)) & \land & ((p \lor q) \land (\lnot q \lor q)) \\ & = & (\lnot p \lor \lnot q) & \land & (p \lor q) \\ & = & \lnot (p \land q) & \land & (p \lor q) \end{matrix}$

De vegades és útil escriure $p \oplus q$ de les següents formes:

$\begin{matrix} p \oplus q & = & \lnot ((p \land q) \lor (\lnot p \land \lnot q)) \end{matrix}$

Aquesta equivalència es pot establir mitjançant l'aplicació de les Lleis de De Morgan dues vegades per la quarta línia de la prova anterior.

Vegeu també

• Àlgebra booleana
• Porta lògica
• Disjunció lògica
• Conjunció lògica
• Operador a nivell de bits
• Funció booleana
• Lògica proposicional
• Modus tollendo ponens
• Lògica de primer ordre
• Valor de veritat
• Operació matemàtica
• Bit de paritat