Disjunció exclusiva

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
A⊕B
Diagrama de Venn per ~A \oplus B

OR ~\oplus~ AND ~\Leftrightarrow~ XOR

Diagrama de Venn per a A⊕B⊕C
Diagrama de Venn per a ~A \oplus B \oplus C

A⊕B ~\oplus~ C ~\Leftrightarrow~ Diagrama de Venn per a A⊕B⊕C

L'operador lògic Disjunció exclusiva també anomenat o exclusiva, simbolitzat com XOR, EOR, EXOR, o és un tipus de disjunció lògica de dos operands que és veritat si només un operand és veritat però no ambdós.[1]

Equivalències, simplificació, i introducció[modifica | modifica el codi]

La disjunció exclusiva p \oplus q es pot expressar en termes de conjunció lògica (\wedge), disjunció lògica (\lor ), i negació (\lnot) de la següent manera:


   \begin{matrix}
      p \oplus q & = & (p \land \lnot q) \lor (\lnot p \land q)
   \end{matrix}

La disjunció exclusiva p \oplus q pot ser expressada de la següent manera:


   \begin{matrix}
      p \oplus q & = & \lnot (p \land q) \land (p \lor q)
   \end{matrix}

Aquesta representació del XOR pot ser útil en la construcció d'un circuit o una xarxa, ja que només té un operador  \lnot i un nombre reduït d'operadors p \oplus q i  \lor . La prova d'aquesta identitat és la següent:


   \begin{matrix}
      p \oplus q & = & (p \land \lnot q) & \lor & (\lnot p \land q) \\
                 & = & ((p \land \lnot q) \lor \lnot p) & \and & ((p \land \lnot q) \lor q) \\
                 & = & ((p \lor \lnot p) \land (\lnot q \lor \lnot p)) & \land & ((p \lor q) \land (\lnot q \lor q)) \\
                 & = & (\lnot p \lor \lnot q) & \land & (p \lor q) \\
                 & = & \lnot (p \land q) & \land & (p \lor q)
   \end{matrix}

De vegades és útil escriure p \oplus q de les següents formes:


   \begin{matrix}
      p \oplus q & = & \lnot ((p \land q) \lor (\lnot p \land \lnot q))
   \end{matrix}

Aquesta equivalència es pot establir mitjançant l'aplicació de les Lleis de De Morgan dues vegades per la quarta línia de la prova anterior.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Vegeu Stanford Encyclopedia of Philosophy, article Disjunction

Vegeu també[modifica | modifica el codi]