Distància d'un punt a una recta

En geometria euclidiana, la distància d'un punt a una recta és la menor distància entre aquest punt i un punt de la recta. Sigui $P\,$ un punt, $r\,$ una recta i $A\,$ un punt d'aquesta recta:

$d(P,r)=\min_{A \in r} \|P-A\|$

Cal distingir entre la distància entre un punt i una recta a $\mathbb R^2$ i $\mathbb R^3$.

Dues dimensions

Suposem que volem trobar la distància entre un punt $P=(p_1,p_2)\,$ i una recta de la forma $r: \, Ax+By+C=0\,$. Llavors, la fórmula que permet obtenir-la és:

$d(P,r)=\frac{|A p_1 + B p_2 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Demostració

Esquema on es veu una recta $\,r$, un punt qualsevol de la recta $\,Q$, el punt utilitzat $\,P$ i la seva projecció $\,P'$ sobre la recta.

Per la demostració utilitzarem el punt $\,Q=(q_1, q_2) \in r$ (pertany a $\,r$) i el vector normal $\vec n = (A, B) \perp r$.

Per la definició de producte escalar, tenim que:

$\vec n \cdot \vec{PQ} = \| \vec n \| \cdot \| \vec {PQ} \| \cdot \cos \alpha$

I la distància compleix, com deduïm a partir de la figura, la següent relació:

$d(P,r)= \| \vec {PQ} \| \cdot |\cos \alpha| = \frac{|\vec n \cdot \vec{PQ}|}{\parallel \vec n \parallel}$

Aquesta expressió pot ser molt simplificada de la següent manera: el vector $\vec{PQ} = (q_1-p_1, q_2-p_2)$, el vector normal és $\vec n = (A, B)$ i el mòdul del vector normal $\parallel \vec n \parallel = \sqrt{A^2+B^2}$. Si substituïm tot això a l'equació anterior obtenim:

$d(P,r)=\frac{|\vec n \cdot \vec{PQ}|}{\parallel \vec n \parallel}=\frac{|A p_1 + B p_2 - (A q_1 + B q_2)|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Donat que el punt $\,Q$ pertany a la recta, tenim que:

$\,A q_1 + B q_2 + C = 0 \rightarrow -(A q_1 + B q_2) = C$

I per tant:

$d(P,r)=\frac{|A p_1 + B p_2 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Exemple

Si tenim la recta $\,r: x - 2y -3 = 0$ i volem saber a quina distància es troba el punt $\,P=(2,3)$, haurem d'utilitzar la fórmula de la següent manera:

$d(P,r) = \frac{|2 - 6 - 3 |}{\sqrt{1^2+2^2}}= \frac{7\sqrt5}{5}$

Tres dimensions

Esquema on es veu una recta $\,r$, un punt qualsevol de la recta $\,Q$, el punt utilitzat $\,P$, la seva projecció $\,P'$ sobre la recta, i l'angle $\alpha$ que formen el vector $\vec {PQ}$ i $\,r$.

Suposem que volem trobar la distància entre un punt $\,P$ i una recta $\,r$. La recta ve definida per un punt que està contingut i un vector que en marca la direcció. Anomenarem a aquest punt i a aquest vector $\,Q$ i $\vec u$. Llavors, la distància entre la recta i el punt ve donada per:

$d(P,r) = \frac{\| \vec u \times \vec {PQ} \|}{\|\vec u\|}$

Demostració

Si $\,\alpha$ és l'angle entre els vectors $\vec {PQ}$ i $\vec u$, la distància entre el punt $\,P$ i la recta és:

$d(P,r) = \| \vec {PQ} \| \cdot \sin \alpha$

Per altra banda, per la interpretació geomètrica del producte vectorial, tenim que:

$\|\vec {u} \times \vec{PQ} \| = \| \vec u \| \cdot \| \vec {PQ} \| \cdot \sin \alpha = \| \vec u \| \cdot d(P,r)$

Així doncs, barrejant les dues equacions arribem a la fórmula inicial.

Exemple

Suposem que tenim la recta $r: \frac{x-2}{1} = \frac{y-3}{2} = \frac{z+1}{1}$; llavors el vector és $\vec u = (1,2,1)$ i el punt que hi pertany és $\,Q=(2,3,-1)$. Si volem trobar la distància d'aquesta recta al punt $\,P=(1,2,3)$, hem de seguir el següent procediment. Primer de tot, cal trobar el producte vectorial entre el vector $\vec {PQ}$ i $\vec u$, i llavors el seu mòdul:

$\vec u \times \vec {PQ} = (1,2,1) \times (-1,-1,4) = (9, -5, 1) \rightarrow \|\vec u \times \vec {PQ}\| = \sqrt {107}$

A més a més, el mòdul del vector director de la recta és $\|\vec u\| = \sqrt 6$. En resum, la distància entre el punt i la recta és:

$d(P,r) = \sqrt{\frac{107}{6}}$

Referències

• Garrido González, Antoni. «6». A: Grup Edebé. Matemàtiques I, Modalitat de Ciències de la Naturalesa i de la Salut, i de Tecnologia, 2002. ISBN 84-236-6178-4. 
• Garrido González, Antoni. «6». A: Grup Edebé. Matemàtiques II, Modalitat de Ciències i Tecnologia, 2009. ISBN 978-84-236-9508-9. 

Vegeu també

• Distància euclidiana
• Distància d'un punt a un pla

Enllaços externs

• http://mathworld.wolfram.com/Point-LineDistance2-Dimensional.html
• http://mathworld.wolfram.com/Point-LineDistance3-Dimensional.html