Distribució de Poisson

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Distribució de Poisson
Funció de probabilitat
Plot of the Poisson PMF
L'eix horitzontal és l'índex k . La funció només està definida en valors sencers de k . Les línies que connecten els punts són només guies per a l'ull i no indiquen continuïtat.
Funció de distribució de probabilitat
Plot of the Poisson CDF
L'eix horitzontal és l'índex k .
Paràmetres  \lambda \in (0, \infty)
Domini k ∈ { 0, 1, 2, 3, ... }
Funció de probabilitat (fp)  \frac{e^{- \lambda}\lambda^k}{k !}\!
Funció de distribució (cdf)  \frac{\Gamma (\lfloor k+1 \rfloor, \lambda)}{\lfloor k \rfloor !} \text{per }k \ge 0 (on  \Gamma (x, y) és la Funció gamma incompleta)
Mitjana  \lambda \,
Mediana  \text{normalment prop de}\lfloor \lambda+1/3-0 02/\lambda \rfloor
Moda  \lfloor \lambda \rfloor \text{(amb }\lambda-1 \text{ si }\lambda \text{ és un enter)}
Variància  \lambda \,
Coeficient de simetria  \lambda^{-1/2}\,
Curtosi  3+\lambda^{-1}\,
Entropia  \lambda [1 \! - \! \ln (\lambda)] \!+\! i^{- \lambda}\sum_{k = 0}^\infty \frac{\lambda^k \ln (k !)}{k !}
Funció generadora de moments (mgf)  \exp (\lambda (e^t-1)) \,
Funció característica  \exp (\lambda (e^{it}-1)) \,

En teoria de probabilitat i estadística, la distribució de Poisson és una distribució de probabilitat discreta. Expressa la probabilitat d'un nombre k d'esdeveniments passant en un temps fix si aquests esdeveniments tenen lloc amb una freqüència mitjana coneguda i són independents del temps transcorregut des de l'últim esdeveniment.

Va ser descoberta per Siméon-Denis Poisson, que la va donar a conèixer l'any 1838 en el seu treball Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile ( Investigació sobre la probabilitat dels judicis en matèries criminals i civils ).

Propietats[modifica | modifica el codi]

La funció de densitat de la distribució de Poisson és

 f (k, \lambda) = \frac{e^{- \lambda}\lambda^k}{k !}, \, \!

on λ és un paràmetre positiu que representa la freqüència esperada del fenomen modelat per la distribució.

Tant el valor esperat com la variància d'una variable aleatòria amb distribució de Poisson són iguals a λ. Els moments d'ordre superior són polinomis de Touchard En λ els coeficients tenen una interpretació combinatòria. De fet, quan el valor esperat de la distribució de Poisson és 1, llavors segons la fórmula de Dobinski, el n -èsim moment iguala el nombre de particions de mida n .

La moda d'una variable aleatòria de distribució de Poisson amb un λ no sencer és igual a  \scriptstyle \lfloor \lambda \rfloor , el més gran dels enters menors que λ (els símbols  \scriptstyle \lfloor \rfloor representen la funció part sencera). Quan λ és un enter positiu, les modes són λ i λ - 1.

La funció generadora de moments de la distribució de Poisson amb valor esperat λ és

 \mathrm{E} \left (e^{tX}\right) = \sum_{k = 0}^\infty e^{tk}f (k, \lambda) = \sum_{k = 0}^\infty e^{tk}{\lambda^ke^{- \lambda}\over k !}= e^{\lambda (e^t-1 )}.

Les variables aleatòries de Poisson tenen la propietat de ser infinitament divisibles.

La divergència Kullback-llegible des d'una variable aleatòria de Poisson de paràmetre λ 0 a una altra de paràmetre λ és

 D_{\mathrm{KL}}(\lambda||\lambda_0) = \lambda \left (1 - \frac{\lambda_0}{\lambda}+\frac{\lambda_0}{\lambda}\log \frac{\lambda_0}{\lambda}\right).

Relació amb altres distribucions[modifica | modifica el codi]

Sumes de variables aleatòries de Poisson[modifica | modifica el codi]

La suma de variables aleatòries de Poisson independents és una altra variable aleatòria de Poisson en què el paràmetre és la suma dels paràmetres de les originals. Dit d'una altra manera, si

 X_i \sim \mathrm{Poi}(\lambda_i) \,, i = 1, \dots, N

són N variables aleatòries de Poisson independents, llavors

 I = \sum_{i = 1}^N X_i \sim \mathrm{Poi} \left (\sum_{i = 1}^N \lambda_i \right) \, .

Distribució binomial[modifica | modifica el codi]

La distribució de Poisson és un cas límit de la distribució binomial. De fet, si els paràmetres n i  \theta d'una distribució binomial tendeixen a infinit de manera que  \! \lambda = n \theta es mantingui constant, la distribució límit obtinguda és de Poisson.

Aproximació normal[modifica | modifica el codi]

Com a conseqüència de teorema central del límit, per a valors grans de  \lambda , una variable aleatòria de Poisson X pot aproximar per una altra normal, ja que el quocient

 I = \frac{X - \lambda}{\sqrt{\lambda}}

convergeix a una distribució normal de mitjana nul·la i variància 1.

Distribució exponencial[modifica | modifica el codi]

Suposem que per a cada valor t > 0, que representa el temps, el nombre de successos de cert fenomen aleatori segueix una distribució de Poisson de paràmetre λt. Llavors, els temps discorre entre dos successos successius segueix la distribució exponencial.

Exemples[modifica | modifica el codi]

Si el 2% dels llibres enquadernats en certa taller té enquadernació defectuosa, obtenir la probabilitat que 5 de 400 llibres enquadernats en aquest taller tinguin enquadernacions defectuoses es pot calcular usant la distribució de Poisson. En aquest cas concret, k és 5 i, λ, el valor esperat de llibres defectuosos és el 2% de 400, és a dir, 8. Per tant, la probabilitat desitjada és

 \! P (5, 8) = \frac{8^5e^{-8}}{5 !}= 0,092.

Aquest problema també podria resoldre's recorrent a una distribució binomial de paràmetres k = 5, n = 400 i  \theta = 0,02.

Processos de Poisson[modifica | modifica el codi]

Article principal: Procés de Poisson

La distribució de Poisson s'aplica a diversos fenòmens discrets de la natura (és a dir, aquells fenòmens que ocorren 0, 1, 2, 3, ... vegades durant un període definit de temps o en una àrea determinada) quan la probabilitat d'ocurrència del fenomen és constant en el temps o l'espai. Exemples d'aquests esdeveniments que poden ser modelats per la distribució de Poisson inclouen:

  • El nombre de cotxes que passen a través d'un cert punt en una ruta (prou distants dels semàfors) durant un període definit de temps.
  • El nombre d'errors d'ortografia que un comet en escriure una única pàgina.
  • El nombre de trucades telefòniques en una central telefònica per minut.
  • El nombre de servidors web accedits per minut.
  • El nombre d'animals morts trobats per unitat de longitud de ruta.
  • El nombre de mutacions de determinada cadena de ADN després de certa quantitat de radiació.
  • El nombre de nuclis atòmics inestables que van decaure en un determinat període en una porció de substància radioactiva. La radioactivitat de la substància es debilitarà amb el temps, per tant el temps total de l'interval utilitzat en el model ha de ser significativament menor que la vida mitjana de la substància.
  • El nombre d'estrelles en un determinat volum d'espai.
  • La distribució de receptors visuals a la retina de l'ull humà.
  • La inventiva d'un inventor a través de la seva carrera.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Distribució de Poisson Modifica l'enllaç a Wikidata