Distribució de Weibull

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

A la teoria de la probabilitat i l'estadística, la distribució de Weibull[1] (batejada en honor de Waloddi Weibull) és una distribució de probabilitat contínua.

La distribució de Weibull s'utilitza habitualment per a l'anàlisi de dades de supervivència, degut a la seva flexibilitat i tractabilitat matemàtica. Pot imitar el comportament d'altres distribucions com la distribució normal quan k=3.4 i reproduir exactament la distribució exponencial quan k=1. Si la funció de risc decreix al llarg del temps, aleshores k < 1. Si és constant, k = 1. Si creix al llarg del temps, k > 1.

La funció de risc ajuda a comprendre què està causant les morts/fallides:

  • Un risc decreixent suggereix "mortalitat infantil". És a dir, els ítems defectuosos fallen al principi i per tant a mesura que avança el temps només queden els ítems no defectuosos, i el risc de fallida disminueix.
  • Un risc constant suggereix que no hi ha ítems defectuosos, i que els ítems no es desgasten amb el temps.
  • Un risc creixent indica que els ítems es desgasten, i per tant a mesura que avança el temps augmenta el risc d'una fallida.

Caracterització[modifica | modifica el codi]

Funció de probabilitat de densitat[modifica | modifica el codi]

La seva funció de densitat de probabilitat és

f(x;k,\lambda) = {k \over \lambda} \left({x \over \lambda}\right)^{k-1} e^{-(x/\lambda)^k}\,

per a x \geq 0 i f(x; k, λ) = 0 per a x < 0, on k >0 és el paràmetre de forma i \lambda >0 és el paràmetre d'escala.

Funció de distribució[modifica | modifica el codi]

La funció de distribució pot calcular-se de forma explícita, fet que fa la distribució de Weibull atractiva per a modelar certs tipus de dades, com per exemple en l'anàlisi de la supervivència.

F(x;k,\lambda)= 1- e^{-(x/\lambda)^k}

Funció de risc[modifica | modifica el codi]

 h(x;k,\lambda) = {k \over \lambda} \left({x \over \lambda}\right)^{k-1}.

Propietats[modifica | modifica el codi]

Mitjana: \lambda \Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\,

Mediana: \lambda\ln(2)^{1/k}\,

Moda: \lambda \left(\frac{k-1}{k} \right)^{\frac{1}{k}}\, if k>1

Variància: \lambda^2\Gamma\left(1+\frac{2}{k}\right) - \mu^2\,

Asimetria: \frac{\Gamma(1+\frac{3}{k})\lambda^3-3\mu\sigma^2-\mu^3}{\sigma^3}

Moment d'ordre n: m_n = \lambda^n \Gamma(1+n/k)\,, on \Gamma és la funció Gamma.

Generalització[modifica | modifica el codi]

Existeix una genelització de la distribució de Weibull, que empra tres paràmetres. La funció de probabilitat de densitat és

f(x;k,\lambda, \theta)={k \over \lambda} \left({x - \theta \over \lambda}\right)^{k-1} e^{-({x-\theta \over \lambda})^k}\,

per a x \geq \theta i f(x; k, λ, θ) = 0 per x < θ, on k >0 és el paràmetre de forma, \lambda >0 és el paràmetre d'escala i \theta és el paràmetre de localització. Quan θ=0, aquesta expressió es redueix a la distribució Gamma de dos paràmetres.

La funció de distribució és

F(x;k,\lambda, \theta) = 1- e^{-({x-\theta \over \lambda})^k}

per a x ≥ θ, i F(x; k, λ, θ) = 0 per a x < θ.

Generació de valors aleatoris[modifica | modifica el codi]

Donada una observació aleatoria U obtinguda de la distribució uniforme en l'interval (0, 1), aleshores

X=\lambda (-\ln(U))^{1/k}\,

segueix una distribució de Weibull amb paràmetres k i λ. Aquest resultat és una conseqüència immediata d'aplicar la transformació de distribució inversa.

Distribucions relacionades[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Weibull, W. (1951) "A statistical distribution function of wide applicability" J. Appl. Mech.-Trans. ASME 18(3), 293-297