Distribució gamma
De Viquipèdia
A la teoria de la probabilitat i l'estadística, la distribució gamma és una família de distribucions contínues amb dos paràmetres. Té un paràmetre d'escala θ i un paràmetre de forma k. Si k és un nombre sencer aleshores la distribució representa la suma de k variables aleatòries exponencials, cadascuna de les quals té mitjana θ.
Taula de continguts |
[edita] Caracterització
Una variable aleatòria gamma X amb escala θ i forma k es denota
[edita] Funció de densitat de probabilitat
La funció de probabilitat de densitat de la distribució gamma pot expressar-se en termes de la funció gamma:
En aquesta parametrització l'esperança és k / θ Alternativament, la distribució gamma pot parameteritzar-se en termes d'un paràmetre de forma α = k i un paràmetre d'escala inversa β = 1 / θ, anomenat un paràmetre de tasa:
En la segona parametrització l'esperança és kθ. Ambdues parametritzacions són comunes perque qualsevol de les dues pot ésser més convenient depenent de la tasca a la que un s'enfronta. És possible una tercera parametrització, on es manté el paràmetre de forma α = k i s'introdueix l'esperança μ = α / θ. L'avantatge d'aquesta darrera parametrització és que és més fàcilment interpretable.
[edita] Funció de distribució
La funció de distribució pot expressar-se en termes de la funció gamma incomplerta,
[edita] Propietats
[edita] Moments
Mitjana= 
Mediana =no hi ha una expressió simple
Moda=
per
, 0 altrament
Variància=
Asimetria=
Kurtosis =
Entropia =
Funció generadora de moments =
for 
Funció característica =
[edita] Suma
Si Xi segueix una distribució Γ(αi, β) per a i = 1, 2, ..., N, aleshores
assumint que totes les Xi són independents.
La distribució gamma és infinitament divisible.
[edita] Transformació d'escala
Per a qualssevol t > 0 es compleix que tX segueix una distribució Γ(k, tθ), demonstrant que θ és un paràmetre d'escala.
[edita] Família exponencial
La distribució gamma pertany a la família exponencial de dos paràmetres i té paràmetres naturals k − 1 i 1 / θ, i estadístics naturals X i ln(X).
[edita] Entropía
L'entropia ve donada per
on ψ(k) és la funció digamma.
[edita] Divergència Kullback-Leibler
La divergència Kullback-Leibler entre una Γ(α0, β0) (la distribució veritable) i una Γ(α, β) (la distribució que la aproxima) ve donada per
[edita] Transformada de Laplace
La transformada de Laplace de la distribució gamma és
[edita] Estimació dels paràmetres
[edita] Màxima versemblança
La funció de versemblança per a N observacions iid
és
de la qual podem calcular la log-versemblança
L'estimador màxim-versemblant s'obté maximitzant la log-versemblança, és a dir, calculant-ne la derivada i igualant a zero (es pot demostrar que la funció és convexa i que per tant té un sol extrem). Proceding d'aquesta manera trobem que:
Substituint aquest resultat a l'expressió de la log-versemblança dona
Per trobar el màxim respecte de k cal calcular la derivada i igualar-la a zero, amb el qual s'obté:
on
és la funció digamma. No existeix cap fòrmula tancada per a k, però la funció es comporta bé numericament (és convexe), i per tant és senzill trobar-ne una solució numèrica, per exemple amb el mètode de Newton. És possible trobar un valor inicial per a k emprant el mètode dels moments, o emprant l'aproximació
Si definim
aleshores k és aproximadament
que és dins d'un 1.5% del valor correcte.
[edita] Estimador Bayesià
Si considerem que k es conegut i θ és desconegut, la funció de densitat a posteriori per a θ és (assumint que la distribució a priori és proporcional a 1 / θ)
Definint
Per tal de calcular l'esperança cal calcular la integral respecte &theta, el qual pot dur-se a terme emprant un canvi de variables que revela que 1/&theta segueix una distribució gamma amb paràmetres
.
Els moments podem calcular-se especificant diferents valors per a m a la següent expressió
Per exemple, l'esperança +/- la desviació estàndard de la distribució a posteriori de θ és:
+/- 
També és possible obtenir estimadors Bayesians sense assumir que k és conegut, però en general no és possible obtenir-ne una expressió senzilla.
[edita] Generant valors d'una distribució gamma
Tenint en compte la propietat d'escala esmentada anteriorment, és suficient generar una variable gamma amb β = 1 i després transformar-la a qualsevol altre valor de β amb una simple divisió.
Emprant el fet que una distribució Γ(1, 1) és el mateix que una distribució exponencial Exp(1), i tenint en compte el mètode per generar variables aleatòries exponencials, arribem a la conclusió de que si U prové d'una distribució uniforme en (0, 1], aleshores -ln(U) segueix una Γ(1, 1). Emprant la propietat de que la suma de variables aleatòries gamma independents segueix novament una distribució gamma, extenem el resultat:
on Uk són uniformement distribuïdesen (0, 1] i independents.
Tanmateix aquesta estratègia només funciona si n és un nombre sencer. Ara veurem com generar observacions d'una Γ(δ, 1) per a 0 < δ < 1 ja que després podem aplicar la propietat de la suma per al cas 1 < &delta.
A continuació presenten un algoritme, sense demostració. Es tracta d'un cas particular del mètode d'acceptació-rebuig:
- Sigui m= 1.
- Generar V2m − 1 i V2m — independents i uniformement distribuïdes a (0, 1].
- Si
, on
, aleshores anar a 4, altrament anar a 5. - Sigui
. Anar a 6. - Sigui
. - Si
, aleshores incrementar m i tornar a 2. - Assumim que ξ = ξm és l'observació d'una Γ(δ,1)
Per resumir,
on [k] és la part sencera de k, i ξ ha estat generat emprant l'algoritme que hem presentat δ = {k} (la part fraccional de k), Uk i Vl segueixen la distribució explicada anteriorment i són independents.
La Llibreria científica GNU disposa de rutines robustes per a generar observacions de moltes distribucions, incloent la distribució Gamma.
[edita] Distribucions rel·lacionades
[edita] Casos particulars
- Si
, aleshores X segueix una distribució exponencial amb paràmetre λ. - Si
, aleshores X és identicament distribuïda a una χ2(ν), la distribució khi-quadrat amb ν graus de llibertat. - Si k és un nombre sencer, la distribució gamma es denomina
distribució d'Erlang que serveix per a modelar el temps d'arribada fins a la k-ena "arribada" en un procès de Poisson d'una dimensió amb intensitat 1/θ.
- Si
, aleshores X segueix una distribució de Maxwell-Boltzmann amb paràmetre a.
, aleshores 
[edita] Altres
- Si X segueix una Γ(k, θ) aleshores 1/X segueix una distribució gamma inversa amb paràmetres k i θ-1.
- Si X i Y són Γ(α, θ) i Γ(β, θ) independents, respectivament, aleshores X / (X + Y) segueix una distribució beta amb paràmetres α i β.
- Si Xi són Γ(αi,θ) independents, aleshores el vector (X1 / S, ..., Xn / S), on S = X1 + ... + Xn, segueix una distribució de Dirichlet amb paràmetres α1, ..., αn.
[edita] Referències
- R. V. Hogg and A. T. Craig. Introduction to Mathematical Statistics, 4th edition. New York: Macmillan, 1978. (See Section 3.3.)
- Plantilla:MathWorld
- Engineering Statistics Handbook
- S. C. Choi and R. Wette. (1969) Maximum Likelihood Estimation of the Parameters of the Gamma Distribution and Their Bias, Technometrics, 11(4) 683-69





![\frac{-1}{\theta^k \Gamma(k)} \int_0^{\infty} \frac{x^{k-1}}{e^{x/\theta}} \left[ (k-1)\ln x - x/\theta - k \ln\theta - \ln\Gamma(k) \right] \,dx \!](http://upload.wikimedia.org/math/a/d/8/ad87ea855f71036f04a153cac1f6fb12.png)
![= -\left[ (k-1) (\ln\theta + \psi(k)) - k - k \ln\theta - \ln\Gamma(k) \right] \!](http://upload.wikimedia.org/math/3/f/c/3fc6387b0016359b5150ea2a11b18df4.png)

















![\theta \left( \xi - \sum _{i=1} ^{[k]} {\ln U_i} \right) \sim \Gamma (k, \theta),](http://upload.wikimedia.org/math/c/4/e/c4ed98f33c39f06dc39ba1b97641876f.png)

