Distribució khi quadrat

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Funció de densitat de probabilitat de la distribució khi quadrat

En estadística, la distribució khi quadrat (pronunciat [xi] o [ci]), també anomenada khi quadrat de Pearson, (χ2) és una distribució de probabilitat contínua amb un paràmetre k que representa els graus de llibertat de la variable aleatòria:

X = Z_1^2 + \cdots + Z_k^2

on Z_i són variables independents de distribució normal, de mitjana 0 i variància 1.

Aquesta distribució s'expressa habitualment c X\sim\chi^2_k

Se sol utilitzar la denominada prova khi quadrat com a test d'independència i com a test de bondat d'ajustament.

La funció de densitat khi quadrat és la següent:

f_k(x)= \frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}

on x > 0 i f_k(x) = 0 per a x \le 0.

\Gamma és la funció gamma.

La funció de distribució és:

 F_k(x) = \frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}

on \gamma(k,z) és la funció gamma incompleta.

El valor esperat i la variància d'una variable aleatòria X amb distribució khi quadrat és

 E[X]=k
 V[X]=2k

La distribució khi quadrat té moltes aplicacions en inferència estadística, per exemple en el test khi quadrat i en l'estimació de variàncies. També està involucrada en el problema d'estimar la mitjana d'una població normalment distribuïda i en el problema d'estimar la pendent d'una recta de regressió lineal, a través del seu paper en la distribució t de Student, i participa en tots els problemes d'anàlisi de variància, pel seu paper en la distribució F de Snedecor, que és la distribució del quocient de dues variables aleatòries de distribució khi-quadrat i independents. També té ús al contrast de k poblacions amb els contrasts d'homogeneïtat i al d'independència.

Relació amb altres distribucions[modifica | modifica el codi]

La khi quadrat és una distribució binomial inversa, el coeficient de variabilitat de la qual és 10,1, té un interval de confiança de 2,3 graus en l'escala de desviacions estàndard. Té una distribució de Poisson elevada que ascendeix a 56.5 m Eq en els tres primers quartils de la recta.

Per a k=2 la distribució és una distribució exponencial.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Distribució khi quadrat Modifica l'enllaç a Wikidata