Divergència

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Per a altres significats vegeu «divergència (desambiguació)».

En càlcul vectorial, s'anomena divergència a l'operador que mesura la tendència d'un camp vectorial per originar-se o convergir a un determinat punt. Per exemple, per un camp vectorial que denoti la velocitat del flux de l'aigua escolant-se per una banyera, la divergència tindria valor negatiu al forat de la banyera, ja que l'aigua se'n va per allà (si només considerem dues dimensions); lluny del forat, la divergència seria zero, ja que no hi ha cap més pèrdua o font d'aigua.[1][2] Una altra notació comú de la divergència és ∇·F. Veure en aquest sentit operador nabla.

Un camp vectorial que té divergència zero s'anomena solenoïdal.

Definició[modifica | modifica el codi]

Sigui x, y, z un sistema de coordenades cartesianes en un espai euclidià de dimensió tres, i siguin ijk les bases dels vectors unitat corresponents.

La divergència d'un camp vectorial diferenciable continu

F = Fx i + Fy j + Fz k

es defineix com la funció de valor escalar

\operatorname{div}\,\mathbf{F}
=\frac{\partial F_x}{\partial x}
+\frac{\partial F_y}{\partial y}
+\frac{\partial F_z}{\partial z}.

Encara que s'expressi en termes de coordenades, el resultat és invariant sota transformades ortogonals, tal com suggereix la interpretació física.

Interpretació física[modifica | modifica el codi]

En termes físics, la divergència d'un camp vectorial és l'abast en el que el fluxe d'un camp vectorial es comporta com una font o un desguàs en un punt determinat. De fet, una alternativa dóna la divergència com la derivada del flux net d'un camp vectorial a través de la superfície d'una esfera petita relativa amb el volum de l'esfera[3]. Concretament,

( \operatorname{div}\,\mathbf{F}) (p) = 
\lim_{r \rightarrow 0}
\int_{S(r)} {\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}dS \over \frac{4}{3} \pi r^3 }

on S(r) denota l'esfera de radi r al punt p en R3, i la integral és la integral de superfície respecte de n, la normal a l'esfera.

Per la interpretació física, un camp vectorial amb divergència constant zero s'anomena incomprimible – en aquest cas, no hi pot haver cap flux net a través de cap superfície tancada.

Propietats[modifica | modifica el codi]

Les propietats següents deriven totes de les regles de diferenciabilitat ordinària del càlcul. La més important, la divergència és un operador lineal,

\operatorname{div}( a\mathbf{F} + b\mathbf{G} ) 
= a\;\operatorname{div}( \mathbf{F} ) 
+ b\;\operatorname{div}( \mathbf{G} )

per tots els camps vectorials F i G i tots els nombres reals a i b.

Hi ha una norma de producte del tipus següent; si φ és una funció de valor escalar, i F és un camp vectorial, llavors

\operatorname{div}(\varphi \mathbf{F}) 
= \operatorname{grad}(\varphi) \cdot \mathbf{F} 
+ \varphi \;\operatorname{div}(\mathbf{F}),

o en notació més suggestiva

\nabla\cdot(\varphi \mathbf{F}) 
= (\nabla\varphi) \cdot \mathbf{F} 
+ \varphi \;(\nabla\cdot\mathbf{F}).

Una altra regla del producte pel producte escalar de dos camps vectorials F i G en tres dimensions implica el rotacional, que és:

\operatorname{div}(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) 
= \operatorname{rot}(\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} 
\;-\; \mathbf{F} \cdot \operatorname{rot}(\mathbf{G}),

o bé

\nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G})
= (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{G}
- \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G}).

El Laplacià d'un camp escalar és la divergència del gradient del camp.

La divergència del rotacional de qualsevol camp vectorial (en tres dimensions) és constant i val zero.

\nabla\cdot(\operatorname{rot}(\mathbf{F})) = 0.

Al contrari, si tens un camp vectorial F amb divergència nul·la definit en una bola en R3, llavors existeix algun camp vectorial F en aquesta bola amb F = rot(G). Per regions en R3 més complicades que boles, l'última afirmació pot no ser veritat.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. «Divergència». L'Enciclopèdia.cat. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
  2. «divergence» (en anglès). britannica.com. [Consulta: 12 setembre 2014].
  3. «Divergence» (en anglès). wolfram.com. [Consulta: 12 setembre 2014].

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]