Divisió

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Per a altres significats vegeu «Divisió (desambiguació)».

La divisió és una operació aritmètica que serveix per expressar matemàticament l'acció de repartir una entitat entre un cert nombre d'elements. En general, la divisió es pot considerar la inversa de la multiplicació.

Per expressar una divisió s'utilitzen els dos punts (:), una barra inclinada () o el símbol de divisió (÷). També es pot expressar una divisió en forma de nombre racional, és a dir, com a fracció.

Una divisió acostuma a agafar la forma:

\frac a b = c

on a és el dividend, b és el divisor i c és el quocient.

La divisió és una operació externa a tots els conjunts de nombres, en tant que la divisió entre zero dona resultat infinit. La divisió entre nombres sencers va donar origen a la idea dels nombres racionals.

Divisió exacta[modifica | modifica el codi]

S'anomena divisió exacta quan a la divisió:

\frac a b = c

tots tres nombres, dividend, divisor i quocient són enters. Això només pot passar si a és múltiple de b, i val exactament c cops b. Quan això no passa, hom diu que a és indivisible per b, llavors caldrà recórrer a la Divisió amb residu o usar nombres racionals o reals.

Quan un nombre és indivisible per tots els nombres naturals menys per ell mateix i 1, es diu que és un nombre primer (l'1 no es considera primer).

Divisió entera[modifica | modifica el codi]

Quan la divisió no és exacta i volem seguir utilitzant nombres enters (divisió entera) apareix un nombre anomenat residu més petit que el divisor, que compleix:

residu = dividend - quocient ⋅ divisor

Divisió real[modifica | modifica el codi]

S'anomena divisió real a la divisió entesa com a inversa de la multiplicació de nombres reals. En aquesta divisió tots el nombres poden ser reals (exceptuant que el quocient no pot ser zero). En aquest tipus de divisió no existeix el residu.

Propietats de la divisió[modifica | modifica el codi]

  • Uniforme: Si els dos membres d'una igualtat es divideixen entre el mateix nombre, queda una altra igualtat com a resultat.
a = b\implies \frac a c = \frac b c

però

{a\over b}={c\over d}\nRightarrow a=c\or b=d
  • Monotonia: Si els dos membres d'una desigualtat matemàtica es divideixen entre un mateix nombre positiu, queda una altra desigualtat del mateix sentit. Si es divideixen entre un mateix nombre negatiu, queda una desigualtat de sentit contrari.
\mbox{Si }c > 0\mbox{ i }a > b \implies {a \over c} > {b \over c}
\mbox{Si }c < 0\mbox{ i }a > b \implies {a \over c} < {b \over c}
  • Distributiva: Junt amb la suma, es compleix la següent igualtat:
{\left ( b + c \right ) \over a} = {b \over a} + {c \over a}

En general:

{\left ( b + c + d + e + ... \right ) \over a} = {b \over a} + {c \over a} + {d \over a} + {e \over a} + ...
  • No commutativa: L'ordre de la divisió és important en el resultat:
{a \over b} és diferent de {b \over a}
  • Element neutre: L'element neutre de la divisió és l'1, de manera que:
{a \over 1} = a
  • Divisió per zero: La divisió per zero és una operació impossible:
\nexists a,b \in \mathbb R\setminus \{ 0 \} \text{ tal que } a\cdot0=b, i per tant, \forall a\in \mathbb R, {a \over 0}\notin \mathbb R.

Com que tot nombre multiplicat per 0 dóna 0, donada b diferent de 0 no existeix cap a que compleixi la divisió b/0. En el cas que a fos 0, es tractaria d'una indeterminació.

Com realitzar una divisió manualment[modifica | modifica el codi]

Escrivim el dividend i a continuació una barra vertical i el divisor. Exemple:

 24856 | 79

Ara dibuixem una línia horitzontal sota el divisor:

 24856 | 79
        ----

A continuació, agafem tants dígits per l'esquerra com xifres tingui el divisor; si el nombre resultant és menor que el divisor, n'agafem un més. En l'exemple, com que el divisor té dues xifres agafem els dos primers dígits per l'esquerra (24), però com que 24<79 n'agafem tres (248). Dividim el nombre resultant entre el divisor i escrivim la part entera d'aquesta divisió sota la barra horitzontal:

  24856 | 79
         ----
          3

Ara, multipliquem el resultat obtingut pel divisor, escrivim el producte a sota de les xifres que hem agafat al començament i restem:

  24856 | 79
         ----
 -237    3
  ---
   11

En cap cas aquesta resta pot donar un resultat igual o superior al divisor; si fos així, caldrà augmentar la primera xifra obtinguda (3 en l'exemple) en una unitat fins que la resta sigui inferior al divisor. Seguidament "baixem" una altra xifra del dividend i l'afegim al resultat de la resta anterior. (Si un cop "baixada" la xifra el resultat fos inferior al divisor, escriurem un zero a sota de la barra i "baixarem" una altra xifra.)

  24856 | 79
         ----
 -237    3
  ---
   115

Repetim el procés dividint aquest nou nombre entre el divisor i col·locant-ne el resultat a sota de la barra horitzontal:

  24856 | 79
         ----
 -237    31
  ---
   115

Tornem a repetir el procediment anterior:

  24856 | 79
         ----
 -237    31
  ---
   115
   -79
   ---
    36

"Baixem" una nova xifra i repetim tot el procés fins que no quedin xifres per a "baixar":


  24856 | 79
         ----
 -237    314
  ---
   115
   -79
   ---
    366
   -316
    --- 
     50

Per a saber si ho hem fet tot bé, cal comprovar que el quocient obtingut (314 en l'exemple) multiplicat pel divisor (79), més el darrer residu (50) ens dóna el dividend:

314 × 79 + 50 = 24856

Criteris de divisibilitat[modifica | modifica el codi]

Article principal: Divisibilitat
  • Un nombre és divisible per 2 si és parell (la seva última xifra és 2, 4, 6, 8 o 0).
  • Un nombre és divisible per 3 si la suma de les seves xifres és múltiple de 3.
  • Un nombre és divisible per 4 si el nombre format per les últimes dues xifres és múltiple de 4 o acaba en doble 0.
  • Un nombre és divisible per 5 si acaba en 0 o en 5.
  • Un nombre és divisible per 6 si és divisible per 2 i 3.
  • Un nombre és divisible per 7 quan la diferència entre el nombre sense la xifra de les unitats i el doble de la xifra de les unitats és zero o múltiple de 7.
  • Un nombre és divisible per 8 si el nombre format per les últimes tres xifres és múltiple de 8.
  • Un nombre és divisible per 9 si la suma de les seves xifres és múltiple de 9.
  • Un nombre és divisible per 10 si acaba en 0.
  • Un nombre és divisible per 11 quan la diferència entre la suma dels valors absoluts de les xifres dels llocs parells i la suma dels valors absoluts dels llocs imparells, en el sentit possible, és múltiple d'11.
  • Un nombre és divisible per 12 si és divisible per 3 i 4.

Aquests criteris serveixen en particular per descompondre els enters en factors primers, el que s'usa en càlculs com el mínim comú múltiple o el màxim comú divisor.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Wikibooks A Viquillibres hi ha llibres de contingut lliure i altres textos relatius a Divisió
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Divisió Modifica l'enllaç a Wikidata