Doble pèndol

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Per a altres significats vegeu «Pèndol (desambiguació)».

En general, un doble pèndol és un sistema compost per dos pèndols, amb el segon penjant de l'extrem del primer. En el cas més simple, es tracta de dos pèndols simples, amb l'inferior penjant de la massa pendular del superior.

Normalment se sobreentén que ens referim a un doble pèndol pla , amb dos pèndols plans coplanaris. Aquest sistema físic posseeix dos graus de llibertat i exhibeix un ric comportament dinàmic. El seu moviment està governat per dos equacions diferencials ordinàries acoblades. Per sobre de certa energia, el seu moviment és caòtic.

Anàlisi del moviment del pèndol doble pla[modifica | modifica el codi]

Un exemple de doble pèndol.

Cinemàtica[modifica | modifica el codi]

A la cinemàtica només estem interessats a trobar les expressions de la posició, la velocitat, l'acceleració i en termes de les variables que especifiquen l'estat del doble pèndol, sense interessar-nos per les forces actuants. Ens servirem de les següents coordenades:

  • x, i = posició horitzontal i vertical de la massa d'un pèndol
  • θ = angle d'un pèndol respecte a la vertical (0 = vertical cap avall, antihorari és positiu)
  • l = longitud de la vareta (constant)

Associarem al pèndol superior el subíndex 1, i al de baix el subíndex 2. Posarem l'origen de coordenades en el punt de pivot del pèndol superior. El sentit de les ordenades creixents es pren cap amunt.

A partir de consideracions trigonomètriques escrivim les expressions de les posicions x 1 , i 1 , x 2 , i 2 en termes dels angulos θ 1 , θ 2 :

 x_1 = l_1 \sin\theta_1 \,
 y_1 = -l_1 \cos\theta_1 \,
 x_2 = x_1 + l_2 \sin \theta_2 \,
 y_2 = y_1 - l_2 \cos \theta_2 \,

Derivant respecte al temps obtenim:

 \dot x_1 = \dot\theta_1 l_1 \cos \theta_1
\dot y_1 = \dot \theta_1 l_1 \sin \theta_1
\dot x_2 = \dot x_1 + \dot\theta_2 l_2 \cos \theta_2
\dot y_2 = \dot y_1 + \dot\theta_2 l_2 \sin \theta_2

I derivant una segona vegada:

\ddot x_1 = -\dot \theta_1^2 l_1 \sin \theta_1 + \ddot\theta_1 l_1 \cos \theta_1
\ddot y_1 = \dot\theta_1^2 l_1 \cos \theta_1 + \ddot\theta_1 l_1 \sin \theta_1
\ddot x_2 = \ddot x_1 - \dot\theta_2^2 l_2 \sin \theta_2 + \ddot\theta_2 l_2 \cos \theta_2
\ddot y_2 = \ddot y_1 + \dot\theta_2^2 l_2 \cos \theta_2 + \ddot\theta_2 l_2 \sin \theta_2

Forces[modifica | modifica el codi]

Definim les variables:

  • T = tensió en la vareta
  • M = massa del pèndol
  • G = acceleració de la gravetat

Farem servir la llei de Newton  F = ma , escrivint per separat les equacions de les components verticals i horitzontals de les forces.

Sobre la massa  m_1 actuen la tensió a la part superior de la vareta  T_1 , la tensió en la part inferior de la vareta  T_2 , i la gravetat -m 1 g :

 M_1 \ddot x_1 =-T_1 \sin \theta_1+T_2 \sin \theta_2
 M_1 \ddot i_1 = T_1 \cos \theta_1 - T_2 \cos \theta_2 - m_1 g

Sobre la massa  m_2 , actuen la tensió  T_2 i la gravetat -m 2 g :

 M_2 \ddot x_2 =-T_2 \sin \theta_2
 M_2 \ddot i_2 = T_2 \cos \theta_2 - m_2 g

Equacions de moviment[modifica | modifica el codi]

A parttir de les equacions anteriors, després de realitzar nombroses operacions algebraiques amb la finalitat de trobar les expressions de  \ddot{\theta_1},  \ddot{\theta_2} en termes de  \theta_1 \, ,  \dot{\theta_1}\, ,  \theta_2 \, ,  \dot{\theta_2}\, , arribaríem a les equacions de moviment per al pèndol doble:


\ddot\theta_1 =  
\frac {-g (2m_1+m_2)\sin\theta_1 
-m_2g \sin(\theta_1-2\theta_2) 
-2\sin(\theta_1 
-\theta_2)m_2(\dot\theta_2^2 l_2 
+\dot\theta_1^2 l_1\cos(\theta_1-\theta_2))} 
{l_1(2m_1+m_2-m_2\cos(2\theta_1 
-2\theta_2))}
\ddot\theta_2 = 
\frac {2 \sin(\theta_1 
- \theta_2) (\dot\theta_1^2 l_1 (m_1 + m_2) 
+ g(m_1 + m_2) \cos \theta_1 + \dot\theta_2^2 l_2 m_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)) } {
l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos(2 \theta_1 - 2 \theta_2))}

Energia[modifica | modifica el codi]

L'energia cinètica ve expressada per:


T = \frac{1}{2}m_1 (\dot x_1^2+\dot i_1^2)+\frac{1}{2}m_2 (\dot x_2^2+\dot i_2^2) =
\frac{1}{2}m_1l_1^2 \dot{\theta}_1^2+
\frac{1}{2}m_2 [L_1^2 \dot{\theta}_1^2+L_2^2 \dot{\theta}_2^2+
2l_1l_2 \dot{\theta}_1 \dot{\theta}_2 \cos (\theta_1-\theta_2)]

L'energia potencial:

 V = m_1gy_1+m_2gy_2 =- (m_1+m_2) gl_1 \cos \theta_1-m_2gl_2 \cos \theta_2 \, .

Per tant, el moviment es regirà per la lagrangiana

 \mathcal L = TV = \frac{1}{2}(m_1+m_2) L_1^2 \dot{\theta}_1^2+\frac{1}{2}m_2l_2^2 \dot{\theta}_2^2
+M_2l_1l_2 \dot{\theta}_1 \dot{\theta}_2 \cos (\theta_1-\theta_2)
+(M_1+m_2) gl_1 \cos \theta_1+m_2gl_2 \cos \theta_2

Equacions de moviment de Lagrange[modifica | modifica el codi]

Usant les equacions de Lagrange en aquest cas particular són:



\frac{d}{dt} \left (\frac{\part L}{\part \dot \theta_1}\right)
- \frac{\part L}{\part \theta_1}= 0, \qquad
\frac{d}{dt} \left (\frac{\part L}{\part \dot \theta_2}\right)
- \frac{\part L}{\part \theta_2}= 0

Calculant explícitament les derivades de l'expressió anterior s'arriba a:


\begin{cases}
(m_1+m_2)l_1^2\ddot\theta_1+m_2\ddot\theta_2l_1l_2\cos(\theta_1-\theta_2)-m_2\dot\theta_2l_1l_2(\dot\theta_1-\dot\theta_2)\sin(\theta_1-\theta_2)+m_2\dot\theta_1\dot\theta_2l_1l_2\sin(\theta_1-\theta_2)+(m_1+m_2)gl_1\sin\theta_1=0 \\
m_2l_2^2\ddot\theta_2+m_2\ddot\theta_1l_1l_2\cos(\theta_1-\theta_2)-m_2\dot\theta_1l_1l_2(\dot\theta_1-\dot\theta_2)\sin(\theta_1-\theta_2)-m_2\dot\theta_1\dot\theta_2l_1l_2\sin(\theta_1-\theta_2)+m_2gl_2\sin\theta_2=0 \end{cases}

Aquestes són les equacions de Lagrange per a un pèndol doble on hem escollit com coordenades generalitzades les polars i en el qual hi ha dues lligadures ( L_1 i  L_2 constants)

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

Bibliografia
  • Marion, Jerry B.. Dinàmica clàssica de les partícules i sistemes (en espanyol). Barcelona: Ed Reverté, 1996. ISBN 84-291-4094-8. 

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]