Nombre e

La constant matemàtica e (anomenada de vegades constant d'Euler, en honor del matemàtic suís Leonhard Euler o constant de Napier, en honor del matemàtic escocès John Napier que va introduir els logaritmes) és la base dels logaritmes naturals i un dels nombres reals més importants.

Així com el nombre π és considerat el nombre per excel·lència de la geometria i el nombre i ho és en l'anàlisi complexa, el nombre e està considerat el nombre per excel·lència del càlcul.

El nombre e intervé en càlculs com podria ser la velocitat en el buidat d'un dipòsit d'aigua, el gir d'un penell enfront d'una ràfega de vent o el moviment del sistema amortidor d'un automòbil. El nombre e també és present en altres camps de la ciència i la tècnica com l'electrònica.

El nombre e és igual a exp(1), on exp és la funció exponencial. Correspon al límit matemàtic

$e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

Aquest límit existeix, ja que la successió $n\mapsto \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ és creixent i limitada per sobre. Això dóna aproximadament e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 ...

El nombre e es pot definir també mitjançant la sèrie infinita

$e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots$

on n! és el factorial de n. Aquesta sèrie convergeix puix que hom ha

$1 + 1 + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots \le 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots = 3,$

és a dir, el desenvolupament en sèrie de e és majorat mitjançant una sèrie geomètrica convergent, en tant que de raó 1/2.

Finalment, es pot considerar e com a l'única solució positiva x de l'equació integral

$\int_{1}^{x} \frac{1}{t} \, dt = {1}.$

Es pot provar que aquestes definicions són equivalents.

La funció exponencial exp(x) és important ja que és l'única (a menys de multiplicació per a constants) funció que és igual a la seva derivada, i s'usa habitualment per a modelitzar processos de creixement o decreixement.

La fracció contínua de e conté una estructura interessant, com es mostra a continuació:

$e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12...] \,$

La següent expressió, la identitat d'Euler, que relaciona les cinc constants més importants en matemàtiques, va ser descoberta per Leonhard Euler:

$e^{i\pi}+1=0 \,\!$

Aquesta és un cas particular (amb x = 0 i y = π) de la fórmula d'Euler:

$e^{x+i \cdot y} = e^x \cdot (\cos y + i \cdot \sin y )$

vàlida per a tot $x,y\in{\mathbb R}$ (i de fet per a tot $x,y\in{\mathbb C}$).

És conegut que e és irracional i transcendent.

Asímptotes

El nombre e surt de manera natural en diferents problemes que involucren a les asímptotes. Un exemple és la fórmula de Stirling que es fa servir per l'anàlisi asimptòtic de la funció factorial, on els dos nombres e i π es troben involucrats:

$n! \sim \sqrt{2\pi n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^n.$

Una conseqüència particular és:

$e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$.

Implementació en informàtica

En la cultura contemporània a Internet, individus i organitzacions sovint retre homenatge al nombre e.

Per exemple, en la presentació de les OPI de Google, el 2004, en lloc d'una quantitat típica d'anada i nombre de diners, la companyia va anunciar la seva intenció de pujar 2718281828 $, que és el correu mil milions de dòlars del dòlar més proper. Google també va ser responsable d'una tanca publicitària [18] que va aparèixer al cor de Silicon Valley, i més tard a Cambridge, Massachusetts, Seattle, Washington i Austin, Texas.

Es pot realitzar una aproximació del nombre e amb n termes de la seqüència de Taylor citada. En C++ tenim un codi com el següent:

#include <iostream>
using namespace std;
 
double aproxima_e(int n) {
    //funció que aproxima el nombre e amb la seqüència de taylor:
    // suma 1/fact(i) des de i=0 fins n
    //no cal fer servir la funció factorial en cada denominador.
    if(n == 0) return 0;
    double facti = 1;  //ini a 1: factorial(0). necessitem que sigui double per evitar errors de sobreeiximent
    double s = 1;
    for(int i = 1; i < n; ++i) {
        facti *= i;        
        s += 1/double(facti);      
    }
 
    return s;
}
 
int main() {
    cout.setf(ios::fixed);
    cout.precision(10);
 
    int n;
    while(cin >> n) {
        cout << "Amb " << n << " terme(s) obtenim " << aproxima_e(n) << endl;
    }
}

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Nombre e