Element algebraic

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Un element algebraic sobre un cert cos matemàtic és un element d'un conjunt que conté a aquest cos matemàtic i que construïble a partir de certes operacions algebraiques relacionades amb els polinomis sobre el cos original.

Introducció[modifica | modifica el codi]

La Teoria de Cossos és una branca de la Teoria d'Anells, que al seu torn és una branca de l'Àlgebra Abstracta. Un de les principals camps d'estudi de la Teoria de Cossos és el de decidir si un polinomi els coeficients del qual estan en el cos té les seues arrels en el cos (és a dir, si al resoldre l'equació polinòmica, les solucions pertanyen o no al cos).

Quan un cos està inclòs en altre cos pot ocórrer que els elements del gran siguen arrels de polinomis amb coeficients en el menut -en aquest cas es diu que els elements són algebraics- o que haja elements que no són arrels de cap d'eixos polinomis. En aquest últim cas es diu que aquests elements són transcendents.

Construcció[modifica | modifica el codi]

(La següent informació és de caràcter tècnic, i pot resultar àrdua i incomprensible per al no iniciat en l'Àlgebra Abstracta, però és essencial per a comprendre el desenvolupament d'aquesta branca de la Matemàtica. Per desgràcia no pot exposar-se d'una manera més plana sense perdre rigor, el que faria que deixara de ser útil.)

Siguen dos cossos (K,+,\cdot) i (L,+,\cdot) de forma que L és extensió de K. Siga \alpha \in L. Si \alpha \in K, llavors \alpha és arrel del polinomi p(x)= x - \alpha, que és irreduible en K[x] (tot polinomi de grau 1 es irreduible en qualsevol anell de polinomis). Si \alpha \in L \setminus K, llavors realitzem la següent construcció:

  • Construïm el conjunt K(\alpha):= \{\frac{f(\alpha)}{g(\alpha)}: f,g \in K[x]\}. Este conjunt és un cos, és extensió de K, és subcos de L, i de fet és la menor extensió de K que conté a \alpha. Se li denomina extensió generada per \alpha sobre K.

Ara només poden donar-se dues situacions:

Com \bar{\beta} és sobrejectiva (ja que és isomorfisme), Img \bar{\beta} = Img \beta. Img \beta \cong \frac{K[x]}{(p)} (Primer Teorema d'Isomorfia), que és subanell de K(\alpha), el qual al seu torn és un cos, després Img \beta és domini integre per mancar de divisors de zero no nuls, amb el que també \frac{K[x]}{(p)} és domini integre.
Però si \frac{K[x]}{(p)} és domini integre serà (p) ideal primer en K[x]. Sabem que (p) = Ker(\beta) \neq \{0\} (per hipòtesi), després p \neq 0. A més, si fóra p \notin K = U(K[x]) (també per hipòtesi). Amb el qual tenim garantit que p és un polinomi irreduible en K[x] (per ser domini d'ideals principals). A més, com K[x] és domini d'ideals principals, tot ideal primer és maximal, amb el qual (p) és ideal maximal de K[x], després \frac{K[x]}{(p)} és un cos. Així Img \beta \cong \frac{K[x]}{(p)} és un subcos de K(\alpha). Com K \subset K[x], si a \in K serà a = \beta(a)=(i \circ \bar{\beta} \circ \pi) (a) = i(\bar{\beta}(\pi(a))) = i(\bar{\beta}(a)) = \bar{\beta}(a), amb el qual se demostra que K és un subcos de Img \beta.
Per altre costat, \bar{\beta}(x) = i(\bar{\beta}(x)) = i(\bar{\beta}(\pi(x))) = (i \circ \bar{\beta} \circ \pi)(x) = \beta(x) = \alpha, amb el qual \alpha \in Img \beta \cong \frac{K[x]}{(p)}. Així, Img \beta és un subcos de K(\alpha) que conté a K i a \alpha. Com K(\alpha) és la menor extensió de K que conté a \alpha arribem a la conclusió que K(\alpha) = Img \beta \cong \frac{K[x]}{(p)}.

En esta segona situació (Ker(\beta) \neq \{0\}, o equivalentment, existeix algun p \in K[x] irreduible amb \frac{K[x]}{(p)} \cong K(\alpha)) se diu que \alpha és algebraic sobre K.

Un element és algebraic sobre un cos si i sols si és l'arrel d'algun polinomi a coeficients en dit cos.

Polinomi mònic irreduible[modifica | modifica el codi]

Si \alpha és un element algebraic sobre el cos K de manera que \alpha \notin K, el polinomi p que genera al nucli de l'aplicació avaluació (i.e., Ker \beta = (p)) és irreduible. Dividint p pel seu coeficient principal (aquell escalar que multiplica a la major potència de la variable x) s'obté un polinomi mònic (és a dir, de manera que el seu coeficient principal és la unitat), que se denota per m_{\alpha}^K i se denomina polinomi mònic irreduible de \alpha respecte de K.

Clarament, K(\alpha) \cong \frac{K[x]}{(m_{\alpha}^K)}.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]