Elements d'Euclides

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Fragment d'Els elements d'Euclides, escrit en papir, trobat al jaciment d'Oxirrinco (Oxyrhynchus), Egipte.
Portada de la primera versió anglesa dels Elements d'Euclides

Els Elements és l'obra més important escrita per Euclides. És un tractat matemàtic que consta de 13 llibres. Cadascun consta d'una successió de teoremes que parlen de geometria, aritmètica i àlgebra. A vegades a aquests llibres s'hi han afegit els volums XIV i XV, que van ser escrits per altres autors, però tenen un contingut similar que s'hi aproxima. Els elements, tot i ser una obra pròpia d'Euclides, és la recopilació de més de tres segles d'investigacions profundes i detallades (època anomenada Edat "Heroica de les Matemàtiques"). Els primers Elements van ser escrits per Hipòcrates, i es poden trobar mencionats altres autors en la seva escriptura.

Aquest llibre ha servit de referència pels creadors de la ciència moderna, ja que ha influenciat indiscutiblement sobre homes com Newton, Kant i Galileu entre altres. Les investigacions matemàtiques, sobretot les elementals, han estat recolzades amb el sistema d'Euclides, a vegades arribant a imitar la seva forma d'exposició.

A més, un dels aspectes que més es valoren dels Elements, és el criteri a l'hora de seleccionar problemes. Euclides no va fer una simple recol·lecció dels fruits que altres autors van conrear, sinó que només selecciona aquells problemes que han estat fonamentals en el desenvolupament de la ciència. No es tracta d'una enciclopèdia amb tots els coneixements matemàtics de l'època, sinó que exposa els fonaments de les matemàtiques en forma d'una teoria perfectament lògiques, partint d'un mínim de tesis inicials. En aquest sentit, els Elements suposen el primer antecedent de l'actual mètode de construcció axiomàtica.

D'aquesta gran obra no es van arribar a fer traduccions a llengües romàniques fins al 1570. Tot i així, un cop es va fer van aparèixer múltiples traduccions i fetes de formes diferents (algunes centrant-se en només un cert nombre de llibres, altres centrant-se en el seu contingut...). S'ha de dir que després de la Bíblia, els Elements és l'obra que més edicions ha tingut (més de mil) sent llibre de text en moltes universitats de prestigi.

Epistemologia dels Elements[modifica | modifica el codi]

L'obra dels elements està dividida en tretze llibres. Als cadascun dels llibres es pot trobar una estructura similar:

  • una sèrie de definicions al començament de cada capítol (131 en total)
  • Cinc axiomes
  • Cinc postulats
  • 465 proposicions, en els quals es parteix d'un resultat a la seva posterior demostració

Definicions dels elements[modifica | modifica el codi]

Les definicions són proposicions per les quals l'autor introdueix els conceptes matemàtics, aclarint-los. Aquestes definicions van ser objecte de crítica durant molts anys, sent acusades de poc completes i precises.

Tot i així, ha estat impossible trobar un sistema de definicions més ben elaborat que el dels Elements. Això és degut al sistema d'axiomes que s'empra actualment per descriure les teories matemàtiques. Aquest en descriu les propietats, i es parteix d'un objecte primari, fet que resulta confús. Els Elements ho fa basant-se en un mètode empíric, pel qual es fa una abstracció d'aquests objectes i es recolza en la tradició de les matemàtiques, de manera que el significat s'expressa de forma clara i taxativa.

Postulats i axiomes dels Elements[modifica | modifica el codi]

La principal diferència entre els axiomes i els postulats és que un axioma és una proposició que no ha de ser demostrada degut a l'obvietat, mentre que el postulat si que necessita aquesta confirmació.

Els 5 postulats dels Elements són:

  1. Una recta pot ésser traçada entre dos punts qualssevol.
  2. El segment d'una recta es pot perllongar indefinidament.
  3. Es pot traçar un cercle amb qualsevol centre i radi.
  4. Tots els angles rectes són iguals entre si.
  5. Si una secant talla dues rectes formant a un costat angles interiors menors a dues rectes, les dos rectes perllongades es tallen en aquest mateix costat (postulat de les paral·leles).

Els cinc axiomes dels Elements són:

  1. Coses iguals a una tercera són també iguals entre si.
  2. Si a coses iguals s'afegeixen coses iguals, els totals són iguals.
  3. Si de coses iguals es resten coses iguals, el residu són coses iguals.
  4. Les coses congruents entre si són iguals.
  5. El tot és major que la part.

Durant els segles posteriors s'ha tractat de millorar aquests axiomes i postulats, però sempre amb poca fortuna.

La part que estudia les figures o objectes i les seves proporcions a l'espai on es compleixen els cinc postulats i axiomes és la Geometria euclidiana.

Contingut dels Elements[modifica | modifica el codi]

Segons el seu contingut els tretze llibres es classifiquen així:

  • Els llibres I, III, IV i part del XII són de Geometria plana, el XI, XIII i l'altra part del XII són de geometria a l'espai.
  • Els llibres II, V, VI i X són de Àlgebra.
  • Els llibres VII, VIII i IX són d'Aritmètica.

Els quatre primers llibres més els VII, VIII, IX són considerats provinents dels pitagòrics. Els V, VI i XII a Èudox de Cnidos, el X i el XIII a Teetet i l'XI a l'escola jònica.

El llibre I és molt important per la cura amb la qual es va elaborar. Introdueix les construccions fonamentals, les operacions de segments i angles. Es donen les propietats de triangles, rectangles i paral·lelograms, fent-ne la seva respectiva comparació. Estableix l'existència de la paral·lela i demostra teoremes de Geometria elemental, concloent amb el Teorema de Pitàgores.

Al llibre II es demostren diverses igualtats algebraiques. També parla de figures regulars, donant-ne les característiques (angles i costats iguals) i centrant-se sobretot en el pentàgon. Es tracten les relacions de les àrees de figures com el quadrat i el rectangle, formant un sistema per tal d'interpretar igualtats algebraiques i per la resolució de problemes d'equacions quadràtiques.

Els llibres III i IV parlen de la geometria del cercle. El III es basa en les seves propietats i les de la circumferència, de les cordes, tangents, angles centrats i inscrits. El IV se centra en les propietats dels polígons regulars inscrits a la circumferència de 3,4,5 i 6 costats, és a dir, a l'espai. L'última proposició demostra com inscriure un polígon regular de 15 costats a una circumferència.

Al llibre V s'elabora una Teoria de Magnituds, en la qual intervé Èudox. Tracta de les relacions entre magnituds i és aplicable tant a nombres com a segments. Després de la introducció de les relacions, les seves igualtats i desigualtats, es demostren altres propietats elementals de les operacions matemàtiques. També cal comentar que es reflecteix la limitació dels segments commensurables i estableix teoremes pels incommensurables.

Al llibre VI es prossegueix al desenvolupament de l'Àlgebra i es resol l'equació de segon grau. En ell també es demostren els teoremes sobre les relacions entre les àrees dels rectangles i paral·lelograms amb una altura comuna. També parla de la proporcionalitat entre dos segments paral·lels que tallen un angle.

Els llibres VII-IX parlen principalment dels nombres naturals. Aquests són representats per Euclides com una relació entre nombres enters. Alhora, aquests són considerats col·leccions d'unitats. D'aquests llibres, considerats com els aritmètics, se'n perceben els principis fonamentals de la matemàtica pitagòrica. Es demostra que la seqüència de nombres primers és infinita. També hi apareix l'algorisme per trobar el màxim comú divisor d'un nombre.

El llibre X és el més llarg de tots, amb 115 proposicions. Algunes d'elles parlen dels nombres irracionals i es posa en manifest el desconeixement de la divisió entre reals i imaginaris (arrels quadrades de nombres negatius, per exemple). Apareix el mètode per donar un nombre infinit de ternes pitagòriques i el criteri de commensurabilitat de dues magnituds. S'exposen les irracionalitats quadràtiques i biquadràtiques.

El llibre XI parla de geometria a l'espai (estereometria) amb un gran nombre de definicions per introduir el terme d'estereometria i una sèrie de teoremes sobre la posició relativa de rectes i plans a l'espai.

El llibre XII consta de 18 proposicions que parlen de les àrees i volums elementals, tasca per la qual van necessitar el mètode d'exhaustió d'Èudox. També es troba la relació entre els volums dels diferents cossos elementals (piràmides, cilindres, cons i esferes).

El llibre XIII conclou amb la construcció dels 5 políedres regulars (tetraedre, poliedre, octaedre, dodecaedre i icosàedre) i a la seva inscripció a l'esfera, demostrant posteriorment que són els únics existents.

Tipus de problemes[modifica | modifica el codi]

Els problemes que apareixen al llibre poden classificar-se en tres grups segons les eines i figures que calen en la seva resolució.

Plans: són aquells que per arribar a la solució només al usar regla i compàs, és a dir, l'ús de figures elementals.

Sòlids: els problemes sòlids suposen l'ús de seccions còniques (el·lipses, paràboles, hipèrboles).

Lineals: requereixen corbes més complicades (espirals, per exemple).

Proposicions[modifica | modifica el codi]

Les proposicions són les demostracions que es realitzen per comprovar un resultat que s'ha donat al principi d'aquestes. Aquestes proposicions tenen una estructura definida:

  1. Enunciat: es presenta allò que s'ha de demostrar, és a dir, el que s'ha de provar del problema o teorema.
  2. Exposició: es fa una presentació d'aquest resultat, introduint un exemple del cas donat.
  3. Determinació: s'especifica sobre l'objecte o figura de la prova, per referència al cas exposat.
  4. Preparació: disposició de construccions i relacions a partir del que es dóna i en ordre de l'obtenció del resultat que es proposa.
  5. Demostració: derivació de conseqüències sobre la base de coneixements previs.
  6. Conclusió: afirmen que s'ha arribat allà on es requeria, encapçalant amb un "Per consegüent..." i finalitzant amb un "...com calia demostrar".

Com es pot veure, el seu raonament té unes particularitats. El seu mètode consisteix a partir del mètode sintètic. Per la demostració d'un teorema es parteix d'una afirmació vàlida. A partir d'aquesta es desenvolupen conseqüències que ens porten a l'afirmació buscada.

A més, els mètodes de construcció geomètrica (regla i compàs) no s'utilitzen com a mitjans de mesura. Per això als Elements no es tracta la mesura de rectes o circumferències, sinó que només es tracta la seva relació.

En resum, a l'obra estan inclosos: la geometria elemental, els fonaments de la teoria dels nombres racionals, la teoria general de les relacions entre magnituds i basada en aquesta, la teoria de les proporcions i la teoria de les irracionalitats quadràtiques i biquadràtiques, elements de l'àlgebra en forma geomètrica i el mètode d'exhaustió.

El desenvolupament lògic dels Elements marca la formació de les teories matemàtiques des de les més simples, com l'àlgebra, fins a les més complexes, com les irracionalitats.

Tot i així, presenta una sèrie de defectes des d'un punt de vista rigorós que dificulten el desenvolupament de les matemàtiques. Per exemple, tota l'exposició de teoremes és geomètrica. Fins i tot els nombres estan representats com a segments o punts. Una altra característica és que els únics medis de construcció geomètrica eren la regla i el compàs. Això impossibilitava la representació de figures còniques o de corbes, i per tant no apareixen teories com la secció del con. Una altra condició desfavorable és la manca d'uns mètodes de càlcul o exemples per facilitar-ne l'enteniment. Tots aquests trets es poden justificar mitjançant la visió de l'autor. Euclides té certs atributs pitagòrics, cosa que fa que tingui una inclinació ideològica per les matemàtiques, una filosofia idealista que pot definir les altres ciències.

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

Llocs web[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Elements d'Euclides Modifica l'enllaç a Wikidata