Endomorfisme

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, un endomorfisme és un morfisme que té com a codomini el mateix conjunt que el seu domini. Si a més el morfisme és bijectiu s'acostuma a parlar d'automorfisme.

Àlgebra lineal[modifica | modifica el codi]

En l'àlgebra lineal, quan es fa referència a morfismes aquests ho són d'espais vectorials, és a dir, es parla d'aplicacions lineals. Per tant, sigui E un espai vectorial, un endomorfisme és qualsevol aplicació f:EE lineal. Seguint la usual identificació de les aplicacions lineals amb matrius, el conjunt d'endomorfismes en un espai vectorial de dimensió n està en correspondència bijectiva amb el conjunt de matrius quadrades n×n. Això permet definir-hi conceptes com els de polinomi característic, polinomi mínim o valors i vectors propis que són molt importants en aquesta branca algebraica i en la geometria lineal i afí.

Àlgebra universal[modifica | modifica el codi]

En general, es parla d'endomorfismes dins de qualsevol categoria de morfismes (o homomorfismes). Per exemple, un endomorfisme del grup G és un homomorfisme de grups h:GG.

Suposem un objecte X d'una certa categoria C, i dos endomorfismes f,g:\mathbf X \rightarrow \mathbf X, la composició de funcions fg és també un endomorfisme. Com que l'aplicació identitat és també un endomorfisme, es pot observar que en el conjunt de tots els endomorfismes de X, \mathcal End (\mathbf{X}), es poden definir certes categories.