Enters algebraics

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, els enters algebraics formen una família de nombres que generalitza el conjunt dels nombres enters. Juguen un paper anàleg a aquests últims en teoria algebraica dels nombres.

En primer lloc, els nombres algebraics són els elements particulars de les extensions finites dels nombres racionals, és a dir dels subcossos dels nombres complexos també són de dimensió finita sobre els racionals en tant que espai vectorial. Un nombre algebraic s'anomena enter algebraic si és arrel d'un polinomi mònic (és a dir que el coeficient del seu monomi dominant és igual a 1) de coeficients enters. Per exemple, els nombres de la forma a + i.b amb 'a i b enters, on i designa la unitat imaginària, formen un subconjunt del conjunt dels enters algebraics; s'anomenen enters de Gauss.

Històricament la primera aplicació per la que es van fer servir va ser en la resolució d'equacions diofàntiques, és a dir equacions (sovint) polinòmiques amb coeficients enters, i de les que es busquen solucions enteres. En són exemples el teorema dels dos quadrats de Fermat, l'últim teorema de Fermat o fins i tot l'equació de Pell-Fermat. D'altra banda, el fet d'entendre l'estructura d'un anell d'enters permet comprendre millor el cos d'origen. Les tècniques desenvolupades per descriure les propietats d'aquests anells es fan servir per demostrar teoremes fonamentals dels cossos de nombres com el de Kronecker-Weber.

Definicions[modifica | modifica el codi]

En aquest article les lletres Z, Q, C designen respectivament l'anell dels enters, el cos dels nombres racionals i el dels complexos.

Una primera definició només afecta a les extensions finites de Q:

  • Sigui K una extensió finita de Q, un element de K el polinomi mínim del qual és de coeficients a Z s'anomena enter algebraic.[1]
  • Sigui K una extensió finita de Q, el conjunt dels enters algebraics de K s'anomena clausura integral de K i sovint es nota OK.[2]

Amb aquesta definició no sempre n'hi ha prou, es útil introduir una noció d'enter en una extensió relativa L/K: en la definició precedent de fet s'han definit els nombres enters sobre Q, i ara es tracta de considerar nombres enters sobre un cos K.

  • Siguin A, B dos anells commutatius unitaris i íntegres i φ un morfisme de A a B. Un element b de B s'anomena enter sobre A si admet un polinomi mínim i si aquest polinomi mínim té coeficients en (φ(A).[3]

Aquesta definició generalitza la precedent, B reemplaça K i el morfisme φ reemplaça l'aplicació identitat. Existeix un cas particular que dóna lloc a una definició. Si A és un anell commutatiu unitari íntegre, llavors admet un cos de fraccions notat aquí K.

  • Siguin A un anell commutatiu unitari integre, i K el seu cos de fraccions, el conjunt dels enters de K sobre A s'anomena la clausura integral de A. Si la clausura integral de A és igual al mateix A, s'anomena integralment tancat.[4]

Exemples[modifica | modifica el codi]

Enters[modifica | modifica el codi]

L'anell Z és un anell d'enters en el sentit de les definicions precedents:

  • L'anell Z és la clausura integral de Q.

Així la definició de la integralitat s'aplica també a Z. Sobre tot cos de nombres els elements de Z són enters, aquesta definició generalitza bé la definició d'un enter.

Fixeu-vos que tot element de Z és enter sobre Q.

Recíprocament, siguin a i b dos enters tals que b sigui estrictament positiu, a i b siguin primers entre ells i a / b sigui enter sobre Z. Es nota P[X] el polinomi mínim de a /   b amb:

P[X] = X^n + p_{n-1}X^{n-1} + \cdots + p_0\ ;

Es verifica la igualtat següent:

 a^n = - p_{n-1}a^{n-1}b + \cdots + p_0b^n \;

Sigui π un nombre primer divisor de b, llavors divideix el terme de la dreta de la igualtat de damunt. Se'n dedueix que divideix ani per tant a. D'on a i b són primers entre ells, per tant l'únic divisor de b és 1 i b és igual a 1. La fracció a / b és un element de Z i tot enter algebraic de Q és element de Z.

Enter de Gauss[modifica | modifica el codi]

Article principal: Enter de Gauss

Els enters de Gauss són els nombres de la forma a + i.b amb a i b enters. Són elements del cos dels racionals de Gauss, constituït pels complexos de la forma α + i.β on α i β són nombres racionals.

  • Els enters de Gauss formen la clausura integral del cos dels racionals de Gauss.

Els enters de Gauss formen clarament un anell commutatiu unitari íntegre, disposen d'una propietat suplementària:

Es fan servir per a la resolució de certes equacions diofàntiques com la del teorema dels dos quadrats de Fermat.

Observació: Les demostracions es troben a l'article principal.

Enter quadràtic[modifica | modifica el codi]

Article principal: Enter quadràtic

Els enters de Gauss representen un cas particular d'una família més general d'anells. Corresponen a les clausures integrals del cos més petit que conté les arrels d'un polinomi irreductible del segon grau amb coeficients a Q. Tals cossos s'anomenen cossos quadràtics.

  • Sigui K un cos quadràtic, existeix un enter d sense factor quadrat tal que K és igual a Q[√d].

Aquí, d pot ser negatiu, en aquest cas √d designa la classe de X a l'anell quocient Q[X] / (X2- d) isomorf al més petit subcos de C que conté i|d|. Aquesta propietat es demostrarà a l'article Extensió quadràtica.

  • La clausura algebraica OQ[√d] del cos quadràtic Q[√d] és l'anell unitari més petit que conté u on u es defineix per:
u = \frac 12(1 + \sqrt d) \text { si } d \equiv 1 \mod 4 \quad \text{i}\quad u = \sqrt d \text {altrament}\;
  • El conjunt OQ[√d] és un subanell de C.

Certs anells de cossos quadràtics no són pas clausures algebraiques. Així Z[√-3] no és la clausura algebraica de Q[√-3] que és igual a Z[j] si j designa l'arrel cúbica de la unitat amb component imaginari estrictament positiu. L'anell Z[j] compost d'elements anomenats enters d'Eisenstein és euclidià, en canvi Z[√-3] no és ni euclidià ni principal ni tan sols factorial. En efecte, en aquest anell l'enter 4 admet dues descomposicions en factors irreductibles:

 4 = 2\times 2 = (1 + i\sqrt{3})(1 - i\sqrt{3}) \;

Observació: Les dues últimes proposicions es demostraran a l'article principal.

Estructura[modifica | modifica el codi]

L'interès dels enters algebraics resideix en la seva estructura. És a l'origen de demostracions de nombrosos teoremes com el de les unitats de Dirichlet o de la llei de reciprocitat quadràtica o d'altres lleis de reciprocitat. Permet resoldre equacions com les de Pell-Fermat o nombrosos casos de l'últim teorema de Fermat.

Anell[modifica | modifica el codi]

En aquest paràgraf A i B designen dos anells commutatius unitaris íntegres i φ un morfisme de A a B.

  • Siguin b1 i b2 dos elements de B que admeten un polinomi mínim amb coeficients a φ(A). Llavors b1 - b2 i b1.b2 admeten tots dos un polinomi mínim amb coeficients a φ(A).

Aquesta proposició (que es demostra a l'article principal) té el corol·lari següent:

  • La clausura algebraica de B sobre A és un anell commutatiu unitari íntegre.

En efecte, la clausura és no buida, ja que conté φ(A), la proposició precedent mostra que aquest tancament és un subanell de B. En tant que subanell de B, la clausura és commutativa i íntegre, és unitària, ja que conté φ(A).

Propietats noetherianes[modifica | modifica el codi]

Article principal: Anell noetherià

L'estructura d'anell és insuficient per demostrar nombrosos teoremes. En conseqüència s'intenta reforçar les propietats de les clausures íntegres. Per això, és necessari enriquir les estructures de A i B. Una configuració important és la de la teoria de Galois. Una clausura integra sobre un cos de nombres es pot veure com una extensió de Z si l'extensió es considera sobre Q o com una extensió d'una clausura integra d'un cos intermediari.

En aquest paràgraf, es considera un anell commutatiu unitari i integre A. Se suposa a més que A és noeterià i es nota K el seu cos de les fraccions. Sigui L una extensió finita de K que se suposa separable. Si A és de característica nul·la l'extensió L és sempre separable, en efecte el cos K també és de característica nul·la, per tant és perfecte (és a dir que tota extensió finita de K és separable).

L'objectiu és de determinar propietats del clausura integra de L a A. No cal esperar trobar una estructura d'anell principal ni tampoc factorial, per exemple, la clausura integra de Q[i√5] no ho és (vegeu l'article Enter quadràtic). A falta de ser factorial, aquesta estructura és noethériana.

  • La clausura integra de L en A és noethériana en tant que A mòdul i en tant que anell.

Una demostració fa servir la forma traça, una aplicació bilineal definida sobre el K espaia vectorial L. Com que l'extensió és separable, la forma traça no és degenerada. Un isomorfisme entre la clausura integra de L i el dual d'un A-mòdul lliure de tipus finit permet obtenir la conclusió. A l'article principal es presentarà una demostració. Una altra fa servir els polinomis de diverses variables.

Anell de Dedekind[modifica | modifica el codi]

Article principal: Anell de Dedekind

Una clausura algebraica sobre Z d'un cos de nombres K té propietats suplementàries. És íntegrament tancat i el seu cos de fraccions és igual a K. A més, els ideals primers són màxims. Un anell noetherià que té aquestes propietats s'anomena un anell de Dedekind.

És clar que Z és un anell commutatiu unitari íntegre noetherià íntegrament tancat i que tot ideal primer de Z és màxim, ja que Z és principal, és per tant un anell de Dedekind. Aquesta propietat es transporta a través de les extensions finites.

En aquest paràgraf A designa un anell de Dedekind del cos de les fraccions K, L és una extensió finita, separable de K i B la clausura integra de L sobre A.

  • El cos de les fraccions de B és igual a L.
  • L'anell B és de Dedekind.

Notes i referències[modifica | modifica el codi]

Notes[modifica | modifica el codi]

  1. Aquesta definició és per exemple l'escollida en la pàg. 11 de la referència Théorie algébrique des nombres un curs de Bas Edixhoven de la Universitat de Renne I.
  2. És la que es fa servir en les referències del paràgraf i també al lloc web Dimatu Dictionnaire Mathématiques Universel. No s'ha de confondre amb la de clausura algebraica
  3. Aquesta definició és molt general, es troba per exemple en la referència Dictionnaire mathématique universelle
  4. Aquesta definició és la que es dóna a la pàg. 20 de la referència Théorie algébrique des nombres un curs de Bas Edixhoven de la Universitat de Rennes I. o també p II-1 Nombres algébriques et nombres p-adiques per Loïc Merel curs preparatori als estudis doctorals 2003-04 també és la del lloc web Dimatu Dictionnaire Mathématiques Universel

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  • Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres (francès)
  • Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique (francès)
  • N. Bourbaki Éléments de matemàtiques, Àlgebra commutativa capítols 8 i 9 Masson 1983 (ISBN 2225787166) (francès)
  • G. H. Hardy E. M. Wright An Introduction to the Theory of Numbers Oxford Science Publications 1980 (ISBN|0198531710) (anglès)
  • K. Ireland M. Rosen A Classical Introduction to Modern Number Theory Springer; 2nd ed. 1990. Corr. 5ena edició impresa el 1998 (ISBN|038797329X) (anglès)