Equació d'ona

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

L'equació d'ona és una important equació diferencial parcial lineal de segon ordre que descriu la propagació d'una varietat d'ones, com ara les ones sonores, les ones de llum i les ones a l'aigua. És important en diversos camps com l'acústica, l'electromagnetisme i la dinàmica de fluids. Històricament, el problema d'una corda vibrant com les que estan en els instruments musicals va ser estudiat per Jean le Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli i Joseph-Louis Lagrange.

Un pols que viatja a través d'una corda amb els seus extrems fixos és modelat per l'equació d'ona.
Les ones esfèriques provenen d'una font puntual.

Introducció[modifica | modifica el codi]

L'equació d'ona és l'exemple prototip d'una equació diferencial parcial hiperbòlica. En la seva forma més elemental, l'equació d'ona fa referència a una funció escalar u(x,t) que satisfà:

{\partial^2 u \over \partial t^2}= c^2 \Delta u,

On  \Delta = \nabla^2 és el laplacià i on  c és una constant equivalent a la velocitat de propagació de l'ona. Per a una ona sonora en l'aire a 20 °C, aquesta constant és de prop de 343 m/s (vegeu velocitat del so). Per a una corda vibrant, la velocitat pot variar molt depenent de la densitat lineal de la corda i la seva tensió. Per a una molla espiral (un slinky) pot arribar a ser tan lenta com d'un metre per segon.

Un model més realista de l'equació diferencial per ones permet que la velocitat de propagació de l'ona variï amb la freqüència de l'ona, fenomen conegut com a dispersió. En aquest cas,  c haurà de ser substituïda per la velocitat de fase:

 V_ \mathrm{p}= \frac{\omega}{k}.

Una altra correcció comú sistemes realistes és que la velocitat pot dependre també de l'amplitud de l'ona, la qual cosa ens porta a una equació d'ona no lineal:

{\partial^2 u \over \partial t^2}= c(u)^2 \Delta u

També cal considerar que una ona pot ser transmesa a un portador mòbil (per exemple la propagació del so en el flux d'un gas). En aquest cas l'escalar u contindrà un Nombre Mach (que és positiu per a l'ona que es mogui al llarg del flux i negatiu per a l'ona reflectida).

L'equació d'ona elàstica en tres dimensions descriu la propagació d'ona en un medi elàstic homogeni isòtrop. La majoria dels materials sòlids són elàstics, de manera que aquesta equació descriu fenòmens com ara ones sísmiques a la Terra i les ones d'ultrasò utilitzades per determinar defectes en els materials. Encara que sigui lineal, aquesta equació té una forma més complexa que les equacions donades a dalt, perquè ha de tenir en compte els moviments longitudinals i transversals:

 \Rho{\ddot{\bold{u}}}= \bold{f}+(\lambda+2 \mu) \nabla (\nabla \cdot \bold{u}) - \mu \nabla \times (\nabla \times \bold{u})

On:

  •  \Lambda i  \mu són els supòsits paràmetres de Lame que descriuen les propietats elàstiques del medi.
  •  \Rho és la densitat,
  •  \bold{f} és la funció d'entrada (força motriu),
  • I  \bold{u} és el desplaçament.

Cal recordar que en aquesta equació, la força i el desplaçament són quantitats vectorials. Aquesta equació és coneguda de vegades com a l'equació d'ona vectorial.

Hi ha variacions de l'equació d'ona que també es poden trobar en mecànica quàntica i relativitat general.

Equació d'ona escalar en un espai d'una sola dimensió[modifica | modifica el codi]

Obtenció de l'equació d'ona[modifica | modifica el codi]

De la llei de Hooke[modifica | modifica el codi]

L'equació d'ona en el cas d'una sola dimensió pot ser obtinguda de la Llei de Hooke de la següent manera: imagina una sèrie de petits pesos de massa m, interconnectats per ressorts sense massa de longitud h. Els ressorts tenen una rigidesa de k:

Sèrie de petits pesos

Aquí u(x) mesura de la distància en equilibri de la massa situada a x. Les forces exercides sobre la massa  \scriptstyle m en el lloc  \scriptstyle x+h són:

 F_{\mathit{Newton}}= m \cdot a (t) = m \cdot{{\partial^2 \over \partial t^2}u (x+h, t)}
 F_ \mathit{Hooke}= F_{x+2 h}+F_x = k \left [{u(x+2 h, t) - u(x+h, t)}\right]+k [u(x, t) - u(x+h, t)]

L'equació de moviment per al pes en el lloc x+h, s'obté en equiparar aquestes dues forces:

 M{\partial^2u (x+h, t) \over \partial t^2}= k [u(x+2h, t) - u(x+h, t) - u(x+h, t) + u(x, t)]

on la dependència amb el temps de u(x) es fa explícita.

Si la sèrie de pesos consisteix en N pesos espaiats uniformement al llarg de L = N h de la massa total M = N m , i la rigidesa total de la sèrie K = k / N podem escriure l'equació anterior com:

{\partial^2u (x+h, t) \over \partial t^2}={KL^2 [\over M}{u (x+2 h, t)-2u (x+h, t)+u (x, t)] \over h^2}

Prenent el límit  N \rightarrow \infty, h \rightarrow 0 (i suposant que és suau) s'aconsegueix:

{\partial^2 u (x, t) \over \partial t^2}={KL^2 \over M}{\partial^2 u (x, t) \over \partial x^2}

( KL 2 ) / M és el quadrat de la velocitat de propagació en aquest cas particular.

De l'equació de transport escalar genèrica[modifica | modifica el codi]

Començant amb l'equació de transport escalar genèrica sense difusió,

 \frac{\partial \phi}{\partial t}+\frac{\partial (u \phi)}{\partial x}= s_ \phi ,

Derivem respecte a  t per aconseguir

 \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}+\frac{\partial^2 (u \phi)}{\partial x \partial t}= \frac{\partial s_ \phi}{\partial t}.

Assumint que  s_ \phi i u són constants, podem escriure

 \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}+u \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \phi}{\partial t}= 0 .

Substituint la derivada respecte del temps de  \phi obtenim

 \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}+u \frac{\partial}{\partial x} \left [s_ \phi-\frac{\partial (u \phi )}{\partial x}\right] = 0 ,

el que dóna com a resultat l'equació d'ona,

 \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}-u^2 \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}= 0 ,

on u és la velocitat de propagació de l'escalar  \phi el qual, en general, està en funció del temps i de la posició.

Solució del problema de valor inicial[modifica | modifica el codi]

La solució general de l'equació d'ona escalar unidimensional

{\partial^2 u \over \partial t^2}= c^2{\partial^2 u \over \partial x^2}

Va ser obtinguda per d'Alembert. L'equació d'ona pot ser escrita d'una manera factoritzada:

 \left [\frac{\part}{\part t}- c \frac{\part}{\part x}\right] \left [\frac{\part}{\part t}+c \frac{\part}{\part x}\right] u = 0. \,

Per tant, si F i G són funcions arbitràries, qualsevol suma de la forma

 u(x, t) = F (x-ct)+G (x+ct) \,

satisfarà l'equació d'ona. Els dos termes són ones viatgeres: qualsevol punt de la forma d'ona donada per un argument específic ja sigui F o G es mourà amb velocitat c ja sigui cap al front o cap enrere: cap al front per F i cap enrere per G , aquestes funcions poden ser determinades per satisfer condicions inicials arbitràries:

 u(x, 0) = f (x) \,
 u_t (x, 0) = g (x) \,

El resultat és la fórmula de d'Alembert:

 u(x, t) = \frac{f (x-ct)+f (x+ct)}{2}+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}g (s) ds

En el sentit clàssic, si  \scriptstyle f (x) \in C^k i  \scriptstyle g (x) \in C^{k-1} llavors  \scriptstyle u (t, x) \in C^k . No obstant això, les formes d'ona F i G també poden ser generalitzades, com ara la funció delta. En aquest cas, la solució pot ser interpretada com un impuls que viatja cap a la dreta o cap a l'esquerra.

L'equació d'ona bàsica és una equació diferencial lineal la qual estableix que l'amplitud de les dues ones que interaccionen és simplement la suma de les ones. Això també significa que el comportament d'una ona es pot analitzar en dividir l'ona en els seus components. La Transformada de Fourier divideix una ona sinusoïdal en el seu components i és útil per a l'anàlisi de l'equació d'ona.

L'equació d'ona escalar en un espai de tres dimensions[modifica | modifica el codi]

La solució del problema de valor inicial per a l'equació d'ona en l'espai de tres dimensions pot ser obtinguda de la solució per a una ona esfèrica. Aquest resultat pot utilitzar-se per obtenir la solució en l'espai de dues dimensions.

Ones esfèriques[modifica | modifica el codi]

L'equació d'ona no es modifica l'rotar les coordenades espacials, i per tant un pot esperar trobar solucions que depenguin només de la distància radial a un punt donat. Aquestes solucions hauran de complir

 u_{tt}- c^2 \left (u_{rr}+\frac{2}{r}u_r \right) = 0. \,

Aquesta equació pot ser reescrita com

 (ru) _{tt}-c^2 (ru) _{rr}= 0; \,

la quantitat ru compleix l'equació de l'ona d'una sola dimensió. Per tant, hi ha solucions en la forma

 u(t, r) = \frac{1}{r}F (r-ct)+\frac{1}{r}G (r+ct), \,

on F i G són funcions arbitràries. Cada terme pot ser interpretat com una ona esfèrica que s'expandeix o contreu a una velocitat c . Aquestes ones són generades per una font puntual i fan possible senyals aguts la forma només s'altera per una disminució en l'amplitud quan r augmenta (vegeu la il lustració d'una ona esfèrica a la part superior dreta). Aquestes ones només existeixen en casos d'espais amb dimensions senars. Afortunadament, vivim en un món que té un espai de tres dimensions, de manera que podem comunicar-nos clarament amb ones acústiques i electromagnètiques.

Solució d'un problema de valor inicial general[modifica | modifica el codi]

L'equació d'ona és lineal en o i es manté inalterada en les translacions en l'espai i el temps. Per tant, podem generar una gran varietat de solucions al traslladar i assumir ones esfèriques. Fem que φ (ξ, η, ζ) sigui una funció arbitrària de tres variables independents, i fem que la forma d'ona esfèrica F sigui una funció delta: és a dir, deixem que F sigui un petit límit de funció contínua la integral sigui la unitat, però el suport (la regió on la funció és diferent de zero) es redueix a l'origen. Fem que una família d'ones esfèriques tinguin el seu centre en (ξ, η, ζ) i fem que r sigui la distància radial a partir d'aquest punt. Així

 R^2 = (x-\xi)^2+(i-\eta)^2+(z-\zeta)^2. \,

Si o és una superposició d'aquestes ones amb funció de ponderació φ, llavors

 U (t, x, y, z) = \frac{1}{4 \pi c}\iiint \varphi (\xi, \eta, \zeta) \frac{\delta (r-ct)}{r}d \xi \, d \eta \, d \zeta; \,

el denominador 4πc és col locat per conveniència.

De la definició de la funció delta, o també es pot escriure com

 U (t, x, y, z) = \frac{t}{4 \pi}\iint_S \varphi (x+ct \alpha, i+ct \beta, z+ct \gamma) d \omega, \,

on α, β, i γ són coordenades en la unitat esfèrica S i ω és l'element en S . Aquest resultat té la interpretació que o ( t , x ) és t vegades el valor mitjà de φ en una esfera de radi ct centrada en x :

 U (t, x, y, z) = t m_{ct}[\phi]. \,

D'això es dedueix que

 O (0, x, y, z) = 0, \quad u_t (0, x, y, z) = \phi (x, y, z). \,

El valor mitjà és encara una funció de t , i per tant si

 V (t, x, y, z) = \frac{\part}{\part t} \left (t m_{ct}[\psi] \right), \,

llavors

 V (0, x, y, z) = \psi (x, y, z), \quad v_t (0, x, y, z) = 0. \,

Aquestes fórmules proporcionen la solució per al problema de valor inicial de l'equació d'ona. Aquestes mostren que la solució en un punt donat P , donant ( t , x , i , z ) només depèn de la informació en l'esfera de radi ct que és intersectada pel con de llum dibuixat Des de P . La solució no depèn de la informació en l'interior d'aquesta esfera. Així doncs, l'interior de l'esfera és una llacuna per a la solució. Aquest fenomen és anomenat principi de Huygens. Això és cert per a nombres senars de dimensions d'espai, on per a una dimensió la integració és realitzada a través de la frontera d'un interval de wrt la mesura de Dirac. Això no se satisfà en qualsevol altre nombre de dimensions d'espai. El fenomen de les llacunes s'ha investigat àmpliament en Atiyah, Bott i Gårding (1970, 1973).

Equació d'ona escalar en un espai de dues dimensions[modifica | modifica el codi]

En un espai de dues dimensions, l'equació d'ona és

 U_{tt}= c^2 \left (u_{xx}+u_{ii}\right). \,

Podem utilitzar la teoria tridimensional per a resoldre un si considerem o com una funció de tres dimensions que és independent de la tercera dimensió. Si

 O (0, x, y) = 0, \quad u_t (0, x, y) = \phi (x, y), \,

llavors la fórmula de la solució en tres dimensions es converteix en

 U (t, x, y) = tM_{ct}[\phi] = \frac{t}{4 \pi}\iint_S \phi (x+ct \alpha, \, i+ct \beta ) d \omega, \,

on α i β són les dues primeres coordenades en la unitat esfèrica, i dω és l'element d'àrea en l'esfera. Aquesta integral pot ser reescrita com una integral sobre el disc D amb centre en ( x , i ) i ràdio ct :

 U (t, x, y) = \frac{1}{2 \pi c}\iint_D \frac{\phi (x+\xi, i+\eta)}{\sqrt{(ct)^2 - \xi^2 - \eta^2}}d \xi \, d \eta. \,

És evident que la solució en ( t , x , i ) depengui no només de la informació en el con de llum on

 (X - \xi)^2+(i - \eta)^2 = c^2 t^2, \,

sinó també de la informació que és a l'interior d'aquest con.

Problemes amb fronteres[modifica | modifica el codi]

A l'espai d'una sola dimensió[modifica | modifica el codi]

Una cadena flexible que s'estira entre dos punts x = 0 i x = L satisfà l'equació d'ona, per t > 0 i 0 < x < L . En els punts fronterers, o pot satisfer una varietat de condicions de frontera. Una manera general que és apropiada per a aplicacions és

-U_x (t, 0)+a u (t, 0) = 0, \,
 U_x (t, L)+b o (t, L) = 0, \,

on a i b no són negatius. El cas on es requereix que o desaparegui en un punt final és en el límit d'aquesta condició quan els respectius a o b s'aproximen a l'infinit. El mètode de separació de variables consisteix en la recerca de solucions per aquest problema en la forma espacial

 U (t, x) = T (t) v (x). \,

Una conseqüència és que

 \frac{T ''}{c^2 T}= \frac{v ''}{v}= - \lambda. \,

El valor propi λ ha de ser determinat de manera que hi hagi una solució no trivial del problema del valor de frontera

 V ''+\lambda v = 0, \,
-V '(0)+av (0) = 0, \quad v' (L)+bv (L) = 0. \,

Aquest és un cas especial del problema general de la teoria de Sturm-Liouville. Si a i b són positius, els valors propis són tots positius i les solucions seran les funcions trigonomètriques. Una solució que satisfà la condició inicial integrable al quadrat per o i o t pot ser obtinguda a partir de l'expansió d'aquestes funcions en les sèrie trigonomètriques apropiades.

En un espai de diverses dimensions[modifica | modifica el codi]

Una solució de l'equació d'ona en dues dimensions amb una condició de frontera de zero desplaçament al llarg de tota la vora exterior.

La teoria del valor de frontera inicial unidimensional pot ampliar-se a un nombre arbitrari de dimensions espacials. Consideri un domini D en un espai x de m dimensions, amb frontera B . Llavors l'equació d'ona serà satisfeta si x està en D i  t> 0 . A la frontera D , la solució o haurà de satisfer

 \frac{\part o}{\part n}+au = 0, \,

on n és la normal unitària a B que apunta cap a fora i a és una funció no negativa definida sobre B . El cas on o desapareix en B és un cas límit quan a s'acosta l'infinit. Les condicions inicials són

 O (0, x) = f (x), \quad u_t = g (x), \,

on f i g són definits en D . Aquest problema pot ser solucionat mitjançant l'ampliació de f i g a les funcions pròpies del laplacià en D , que compleixin les condicions de frontera. Així, la funció pròpia v satisfà

 \nabla \cdot \nabla v+\lambda v = 0, \,

en D , i

 \frac{\part v}{\part n}+av = 0, \,

en B .

En el cas d'un espai de dues dimensions, les funcions pròpies poden interpretar-se com els modes de vibració d'una membrana estesa sobre la frontera B . Si B és un cercle, llavors aquestes funcions pròpies tenen un component angular que és una funció trigonomètrica de l'angle polar θ, multiplicat per una funció de Bessel (d'ordre sencer) del component radial. Majors detalls es troben a l'equació de Helmholtz.

Si la frontera és una esfera en un espai de tres dimensions, les components angulars de les funcions pròpies són harmònics esfèrics, i els components radials són funcions de Bessel d'ordre de meitat de sencer.

L'equació d'ona no homogènia en una dimensió[modifica | modifica el codi]

L'equació d'ona no homogènia en una dimensió és la següent:

\ C^2 u_{xx}(x, t) - u_{tt}(x, t) = s (x, t)

amb condicions inicials donades per

\ O (x, 0) = f (x)
\ U_t (x, 0) = g (x).

La funció  s (x, t) és anomenada també la funció font pel fet que en la pràctica descriu els efectes de les fonts d'ona en el medi que les porta. Exemples físics de funcions font inclouen la força motriu d'una ona sobre una corda, o la densitat de càrrega o corrent a la condició de Lorenz de electromagnetisme.

Un mètode per resoldre el problema de valor inicial (amb els valors inicials que es van plantejar a dalt) és aprofitar-se de les propietats de l'equació d'ona les solucions l'obeeixen casualment. És a dir, per a qualsevol punt  \scriptstyle (x_i, t_i) , el valor de  \scriptstyle o (x_i, t_i) només depèn dels valors de  \scriptstyle f ( x_i+c t_i) i  \scriptstyle f (x_i - c t_i) i els valors de la funció  \scriptstyle g (x) entre  \scriptstyle (x_i - c t_i) i  \scriptstyle (x_i+c t_i) . Això pot observar a la Fórmula de d'Alembert, com s'ha assenyalat anteriorment, on aquestes quantitats són les úniques que apareixen en ella. Físicament, si la màxima velocitat de propagació és  \scriptstyle c , llavors cap part de l'ona que no pugui propagar-se a un determinat punt en un moment donat pot afectar l'amplitud en el mateix punt i temps.

En termes de trobar una solució, aquestes propietats casuals donen a entendre que per a qualsevol punt donat en la línia que s'està considerant, l'única àrea que necessita ser considerada és l'àrea que abasti a tots els punts que podrien afectar causalment al punt que es està considerant. Designant l'àrea que afecta casualment al punt  \scriptstyle (x_i, t_i) com  \scriptstyle R_C . Suposem que integrem l'equació d'ona no homogènia sobre aquesta regió.

 \iint \limits_{R_C} \left (c^2 u_{xx}(x, t) - u_{tt}(x, t) \right) dx dt = \iint \limits_{R_C}s (x, t) dx dt.

Per simplificar això en gran mesura, podem usar la teorema de Green per simplificar la banda esquerra i així obtenir el següent:

 \int_{L_0+L_1+L_2} \left (- c^2 u_x (x, t) dt - u_t (x, t) dx \right) = \iint \limits_{R_C}s (x, t) dx dt.

La part esquerra és ara la suma de tres integrals de línia al llarg de les fronteres de la regió de causalitat. Aquestes resulten ser bastant fàcils de calcular

 \int^{x_i+c t_i}_{x_i - c t_i}- u_t (x, 0) dx = - \int^{x_i+c t_i}_{x_i - c t_i}g (x) dx.

En això, el terme a ser integrat pel que fa al temps desapareix pel fet que l'interval involucrat és zero, així  dt = 0 .

Per als altres dos costats de la regió, cal assenyalar que  \scriptstyle x \pm ct és una constant, anomenada  \scriptstyle x_i \pm c t_i , on el signe es tria adequadament. D'aquesta manera, podem obtenir la relació  \scriptstyle dx \pm c dt = 0 , escollint de nou el signe dret:

 \int_{L_1} \left (- c^2 u_x (x, t) dt - u_t (x, t) dx \right) \,
 = \int_{L_1} \left (c u_x (x, t) dx+c u_t (x, t) dt \right) \,
 = C \int_{L_1}du (x, t) = cu (x_i, t_i) - cf (x_i+c t_i). \,

I de forma similar per l'últim segment de frontera:

 \int_{L_2} \left (- c^2 u_x (x, t) dt - u_t (x, t) dx \right)
 = - \int_{L_2} \left (c u_x (x, t) dx+c u_t (x, t) dt \right)
 = - C \int_{L_2}du (x, t) = - \left (cf. (x_i - c t_i) - cu (x_i, t_i) \right)
 = Cu (x_i, t_i) - cf (x_i - c t_i). \,

Sumant els tres resultats junts i posant-los de tornada a la integral original:

 - \int^{x_i+c t_i}_{x_i - c t_i}g (x) dx+cu (x_i, t_i) - cf (x_i+c t_i)+cu (x_i, t_i) - cf (x_i - c t_i) = \iint \limits_{R_C}s (x, t) dx dt
 2 cu (x_i, t_i) - \int^{x_i+c t_i}_{x_i - c t_i}g (x) dx - cf (x_i+c t_i) - cf (x_i - c t_i) = \iint \limits_{R_C}s (x, t) dx dt
 2 cu (x_i, t_i) = \int^{x_i+c t_i}_{x_i - c t_i}g (x) dx+cf (x_i+c t_i)+cf (x_i - c t_i)+\iint \limits_{R_C}s (x, t) dx dt
 O (x_i, t_i) = \frac{f (x_i+c t_i)+f (x_i - c t_i)}{2}+\frac{1}{2 c}\int^{x_i+c t_i}_{x_i - c t_i}g (x) dx+\frac{1}{2 c}\int^{t_i}_0 \int^{x_i+c \left (t_i - t \right)}_{x_i - c \left (t_i - t \right)}s (x, t) dx dt. \,

En l'última equació de la seqüència, les fronteres de la integral sobre la funció font s'han fet explícites. Pel que fa a aquesta solució, que és vàlida per a totes les opcions  \scriptstyle (x_i, t_i) compatibles amb l'equació d'ona, és evident que els dos primers termes són simplement la fórmula de Alembert, com es va assenyalar anteriorment en la solució de l'equació d'ona homogènia en una dimensió. La diferència està en el tercer terme, la integral sobre la font.

Altres sistemes de coordenades[modifica | modifica el codi]

En tres dimensions, l'equació d'ona, quan és escrita en coordenades cilíndriques el·líptiques, pot ser resolta per separació de variables, el que comporta a l'equació diferencial de Mathieu.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  • M. F. Atiyah, R. Bott, L. Garding, "Lacuna for Hyperbolic Differential operators with constant Coefficients I", Acta Math. , 124 (1970), 109-189.
  • M.F. Atiyah, R. Bott, and L. Garding, "Lacuna for Hyperbolic Differential operators with constant Coefficients II", Acta Math. , 131 (1973), 145-206.
  • R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, vol II . Interscience (Wiley) New York, 1962.
  • "Linear Wave Equations", EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • "Nonlinear Wave Equations", EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • William C. Lane, "MISNA-0-201 The Wave equation and Its Solutions", physnet.org Project PHYSNET .
  • Relativistic wave equations with fractional Derivatives and pseudodifferential operators , per Petr Zavada, Journal of Applied Mathematics, vol. 2, no. 4, pp. 163-197, 2002. doi: 10.1155/S1110757X02110102 (disponible en línia o com la preimpressió arXiv)

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]