Equació de Helmholtz

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La equació de Helmholtz , anomenada així per Hermann von Helmholtz ve donada per:


(\nabla^2+k^2)\phi = 0

on \nabla^2 és el laplacià,  k és una constant (nombre d'ona), i \phi un camp escalar, és aquest cas, el camp magnètic i elèctric.

Deducció teòrica de l'equació[modifica | modifica el codi]

Anem a mostrar com es dedueixen les equacions de Helmholtz a partir de les equacions de Maxwell. Per mitjans no conductors lliures de fonts caracteritzats per \epsilon i \mu (\sigma = 0) , les equacions de Maxwell es redueixen a:

A : \vec{\nabla}\times\vec{E}= -\mu\frac{\partial\vec{H}}{\partial t}

B : \vec{\nabla}\times\vec{H}= -\epsilon\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}

C : \vec{\nabla}\cdot\vec{E}= 0


D : \vec{\nabla}\cdot\vec{H}= 0


Les equacions anteriors A , B , C i D són equacions diferencials de primer grau per als camps \vec{E} i \vec{H}. Podem combinar per produir una equació de segon grau contenint únicament \vec{E} o \vec{H}. Fem servir les equacions A i B i operant s'obté:

\vec{\nabla}\times\vec{\nabla}\times\vec{E}= -\mu\frac{\partial (\vec{\nabla}\times\vec{H})}{\partial t}= -\mu\cdot\epsilon\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}


Però sabem que: \vec{\nabla}\times\vec{\nabla}\times\vec{E}=\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot\vec{E}) -\vec{\nabla^2}\vec{E}

i utilitzant l'equació C tenim que:

\vec{\nabla}\times\vec{\nabla}\times\vec{E}= -\vec{\nabla^2}\vec{E}

Per tant substituint els termes tenim finalment que:

\vec{\nabla^2}\vec{E}-\mu\cdot\epsilon\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}

La velocitat de fase ve donada per:

 v_\mathrm{p}=\frac{\omega}{k}

el que significa que:  v_\mathrm{p}=\frac{1}{\sqrt{\mu\epsilon}}

i per tant, substituint, tenim:

\vec{\nabla^2}\vec{E}-\frac{1}{v_\mathrm{p}^2}\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}= 0

Anàlogament podem treure l'equació per \vec{H}:

\vec{\nabla^2}\vec{H}-\frac{1}{v_\mathrm{p}^2}\frac{\partial^2\vec{H}}{\partial t^2}= 0

Com podem apreciar, les dues equacions anteriors són les equacions d'ona vectorials homogènies . Descomponent aquestes dues equacions obtingudes en coordenades cartesianes podem descompondre'l en tres equacions d'ones escalars, homogènies i unidimensionals. Cada component del camp el}ectric i magnètics ha de satisfer una equació la solució representa una ona. Per camps amb dependència harmònica amb el temps convenientment utilitzada fasors. D'aquesta manera del deduït previ, s'arriba a la conclusió:

\vec{\nabla^2}\vec{E_\mathrm{s}}+\frac{\omega^2}{v_\mathrm{p}^2}\vec{E_\mathrm{s}}= 0

o

\vec{\nabla^2}\vec{E_\mathrm{s}}+k^2\vec{E_\mathrm{s}}= 0

Anàlogament trobem la següent equació per al camp electromagnètic:

\vec{\nabla^2}\vec{H_\mathrm{s}}+k^2\vec{H_\mathrm{s}}= 0


Referències[modifica | modifica el codi]

  • David K. Cheng "Fonaments d'Electromagnetisme per enginyeria"
  • Pozar D.M. "Microwave engineering"