Equació de Schrödinger

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En física, especialment en mecànica quàntica, l'equació de Schrödinger és una equació que descriu com canvia al llarg del temps l'estat quàntic d'un sistema físic. És tan rellevant per a la mecànica quàntica com ho són les lleis de Newton per a la mecànica clàssica.

A la interpretació estàndard de la mecànica quàntica, l'estat quàntic, també anomenat funció d'ona o vector d'estat, és la descripció més completa que es pot donar d'un sistema físic.[1] Les solucions a l'equació de Schrödinger descriuen sistemes atòmics i subatòmics, electrons i àtoms, però també sistemes macroscòpics, i possiblement l'Univers sencer. Aquesta equació rep el nom del seu descobridor Erwin Schrödinger que la va publicar el 1926.[2]

L'equació de Schrödinger pot convertir-se matemàticament en una matriu mecànica de Heisenberg i també en la formulació de la integral de camí de Feynman. La descripció que l'equació fa del temps no és convenient per a les teories relativístiques, un problema que no és greu a la formulació de Heisenberg i que no es presenta a la formulació de la integral de camí.

L'equació[modifica | modifica el codi]

L'equació de Schrödinger pren diferents formes en funció de les diferents situacions físiques.

Sistema quàntic general[modifica | modifica el codi]

Per a un sistema quàntic general l'equació seria:

i\hbar {\partial\Psi(\mathbf{r} ,\,t) \over \partial t} = \hat H \Psi(\mathbf{r},\,t)

on

Una partícula en tres dimensions[modifica | modifica el codi]

Per a una única partícula en tres dimensions l'equació seria:

i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},\,t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(\mathbf{r},\,t) + V(\mathbf{r})\Psi(\mathbf{r},\,t)

on

  • \mathbf{r} = (x,y,z) és la posició de la partícula a l'espai tridimensional,
  • \Psi(\mathbf{r},t) és la funció d'ona, que és l'amplitud de probabilitat que la partícula sigui a una posició donada r a un temps donat t.
  • m és la massa de la partícula.
  • V(\mathbf{r}) és l'energia potencial de la partícula a cada posició r.

Història[modifica | modifica el codi]

Einstein va interpretar els quanta de Planck com a fotons, partícules de llum, i va proposar que l'energia d'un fotó és proporcional a la seva freqüència, una misteriosa dualitat ona-partícula. Atès que l'energia i el moment (quantitat de moviment) són relacionats de la mateixa manera que la freqüència i el nombre d'ona en relativitat, el moment d'un fotó havia de ser proporcional al seu nombre d'ona.

Louis de Broglie va proposar generalitzar la dualitat ona-partícula a totes les partícules, tant pels electrons com pels fotons, tot i que la hipòtesi implicava que els electrons havien de produir interferències com la llum, cosa que seria verificat més tard amb l'experiment Davisson-Germer. Per analogia amb el fotó Louis de Broglie va associar a cada partícula lliure d'energia E i amb quantitat de moviment p una freqüència \nu i una longitud d'ona \lambda:

\left\{\begin{matrix}E=h\nu\\p=h/\lambda\end{matrix}\right..

Seguint les idees precedents, Schrödinger va decidir de cercar una equació d'ona per a l'electró. Es va guiar per l'analogia entre mecànica i òptica proposada per William Rowan Hamilton segons la que en el límit, a una longitud d'ona zero, un sistema òptic s'assemblaria a un sistema mecànic, la trajectòria dels raigs de llum seguirien els principi de Fermat. Hamilton no va proposar una equació per a aquestes ones. Va ser Schrödinger qui va proposar-ne una equació d'ona, que generalitzava l'aproximació que havia fet Louis de Broglie, la seva proposta en la seva versió moderna en unitats naturals és:

i \frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,\,t)=-\frac{1}{2m}\nabla^2\Psi(x,\,t) + V(x)\Psi(x,\,t).

Schrödinger va calcular amb aquesta equació les línies espectrals per a l'hidrogen tractant un àtom negativament carregat com una ona, \Psi(x,\,t)\;, movent-se a un pou quàntic, V, creat per un protó (carregat positivament). Aquest càlcul reproduïa els nivells d'energia del model atòmic de Bohr.

Però encara va anar més lluny, aparentment Arnold Sommerfeld havia mesurat correctament les desviacions relativistes en les línies espectrals atòmiques respecte a les prediccions del model de Bohr. Schrödinger va utilitzar la relació relativista entre el moment i l'energia per trobar el que avui dia es coneix com l'equació de Klein-Gordon a un potencial elèctric:


\left(E + {e^2\over r} \right)^2 \psi(x) = - \nabla^2\psi(x) + m^2 \psi(x).

També va trobar les ones estacionàries d'aquesta equació relativista, però les correccions relativistes no concordaven amb la fórmula de Sommerfeld i ho va deixar de banda. Finalment va decidir posar junts la seva equació d'ona i l'anàlisi espectral de l'hidrogen, el seu escrit va ser publicat el 1926 a la revista Annalen der Physik.[3] L'article va rebre el suport d'Einstein que veia les ones de matèria com un antídot contra les matrius mecàniques que considerava extremadament formals.

L'equació de Schrödinger ens explica el comportament de \psi , però no explica el que és \psi. Schrödinger va tractar infructuosament d'interpretar-la com a densitat de càrrega. Tanmateix, el 1926, pocs dies després de la publicació del darrer article de Schrödinger, Max Born va interpretar \psi com una amplitud de probabilitat,[4] que avui dia és la interpretació estàndard i que li valdria el Premi Nobel de Física el 1954 (Gairebé tres dècades més tard!).

Schrödinger es va oposar sempre, igual que Einstein, a una aproximació estadística o probabilística perquè comportaria el col·lapse de la funció d'ona, i mai va acceptar la interpretació de Copenhaguen que van proposar Niels Bohr, Max Born i Werner Heisenberg.[5]

Generalització relativista[modifica | modifica el codi]

La generalització de l'equació en el domini relativista va portar a l'equació de Klein-Gordon i després a l'equació de Dirac. Aquesta darrera va establir de manera natural l'existència de l'espín i de les antipartícules. Tanmateix, no hi ha cap interpretació totalment coherent d'aquestes equacions d'ona relativistes dins del marc d'una teoria que descrigui una partícula, aquest marc per la teoria quàntica relativista seria la teoria quàntica de camps.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Garrido Beltrán, Lluís; Josep Maria Pons Ràfols. Edicions Universitat Barcelona. Mecànica quàntica, 2006. ISBN 8447531066. .
  2. Schrödinger, Erwin. «An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules» (PDF). Phys. Rev., 28, 6, December 1926, pàg. 1049–1070. DOI: 10.1103/PhysRev.28.1049.
  3. Erwin Schrödinger, Annalen der Physik, (Leipzig) (1926), Über das Verhältnis der Heisenberg-Born-Jordanschen Quantenmechanik zu der meinen.
  4. Max Born Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge, Zeitschrift für Physik 37 863-867 (1926).
  5. Schrödinger: Life and Thought by Walter John Moore, Cambridge University Press 1992 ISBN 0-521-43767-9