Equació de difusió

La equació de la difusió és una equació en derivades parcials que descriu fluctuacions de densitat en un material que es difon. És també usada per a descriure processos exhibint un comportament d'difusió.

Equació

L'equació és generalment escrita com:

$\frac{\partial\phi}{\partial t}=\nabla\cdot (D(\phi,\vec{r})\nabla\phi(\vec{r},t))$

on $\phi$ és la densitat del material que difon, $t$ és temps, i $D$ és el coeficient de difusió col·lectiu, < math> \vec{r}</math> és la coordenada espacial i el símbol Nabla (∇) representa el vector operador diferencial Nabla . Si el coeficient de difusón depèn de la densitat, llavors l'equació no és lineal; d'una altra manera seria lineal. Si D és constant, llavors l'equació es redueix a la següent equació lineal:

$\frac{\partial\phi}{\partial t}=D\nabla^2\phi(\vec{r},t)$,

Més generalment, quan D és una matriu simètrica definida positiva, l'equació descriu una difusió anisòtrop.

Derivació

L'equació de difusió es pot deduir a partir de l'equació de continuïtat. La mateixa expressa que un canvi en densitat en un sistema és degut a un flux entrant oa un flux sortint de material del sistema. És a dir no hi pot haver ni creació ni destrucció de matèria.

$\frac{\partial\phi}{\partial t}+\nabla\cdot\vec{j}=0$

on $\vec{j}$ és el flux del material que difon. L'equació de difusió pot ser obtinguda fàcilment de aquesta relació quan es la combinació amb la Llei de Fick, que assumeix que el flux del material que difon arreu del sistema és proporcional a l'gradient local de densitat :

$\vec{j}=-D(\phi)\nabla\phi(\vec{r},t)$.

Vegeu també

• Difusió

Enllaços externs

• Difusió i Llei de Fick