Equació de segon grau

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Equació quadràtica.
Gràfic de la funció polinòmica de segón grau ax^2+bx+c, variant cada coeficient per separat, els coeficients que es mantenen constants valen 1

Una equació de segon grau, anomenada també equació quadràtica, és una equació polinòmica on el grau més alt dels diversos monomis que la integren és 2. La seva expressió general és:

ax^2+bx+c=0 \

on a ≠ 0.

Les equacions de segon grau es resolen mitjançant la fórmula:

x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a},

que proporciona les dues solucions complexes que té, d'acord amb el teorema fonamental de l'àlgebra.

Per comprovar si aquestes solucions són també reals, es pot fer observant el discriminant de l'equació, que correspon al terme dins l'arrel quadrada: b^2-4ac.

Si:

  • b^2-4ac>0 \ Les dues solucions són reals.
  • b^2-4ac=0 \ L'equació té una sola solució real (doble), que ve donada per x=\frac{-b}{2a} \ .
  • b^2-4ac<0 \ No existeixen solucions en els reals.



Història[modifica | modifica el codi]

Els matemàtics xinesos 400 aC i babilonis 200 aC feien sevir el mètode de completar el quadrat per resoldre equacions de segon grau amb arrels positives. Però no tenien una fórmula general.

Euclides va obtenir un mètode geomètric més abstracte al voltant del 300 aC.

El 628 Brahmagupta va donar la primera forma explícita (tot i que encara no del tot general ni algebraica) per a solucionar l'equació de segon grau.

El manuscrit Bakhshali datat al segle VII conté una fórmula algebraica per a solucionar equacions de segon grau.

El matemàtic persa del segle IX Muhammad bin Musa Al-Khwarizmi va desenvolupar un conjunt de fórmules que funcionaven per a solucions positives.

El matemàtic català Savasorda (1070, Barcelona- 1136, Provença) Va ser el primer a donar la fórmula que soluciona completament l'equació de segon grau. En el seu llibre Libre de Geometria Savasorda estudia per separat tres casos en funció del signe dels coeficients:

Primer cas. Del quadrat es resta un nombre de vegades la longitud del costat (4 vegades a l'exemple que posa Savasorda) i queda un nombre positiu.

\begin{align}
 & x^{2}-Ax=B \\ 
 & x=\frac{A}{2}+\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+B} \\ 
\end{align}

Segon cas. Al quadrat se li suma un nombre de vegades la longitud del costat.

\begin{align}
 & x^{2}+Ax=B \\ 
 & x=-\frac{A}{2}+\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+B} \\ 
\end{align}

Tercer cas. D'un nombre de vegades el costat es resta el quadrat i queda un nombre positiu.[Aclariment necessari]

\begin{align}
 & Ax-x^{2}=B \\ 
 & x=\frac{A}{2}\pm \sqrt{\frac{A^{2}}{4}-B} \\ 
\end{align}

En aquest tercer cas Savasorda observa que poden haver-hi dues solucions:

« Aquesta qüestió i les que li són semblants admeten dues solucions, puix si hom et diu: Llevo de la suma dels 4 costats l'àrea, i em resta 4 menys quart, hom trobarà que el quadrat fa un colze i mig o dos colzes i mig »
— Savasorda[1]

Des de Catalunya es va difondre a la resta d'Europa gràcies a la traducció al llatí amb el títol Liber embadorum feta per Plató de Tívoli.

El matemàtic indi Bhaskara II va donar la fórmula general amb dues arrels.

Obtenció de la fórmula[modifica | modifica el codi]

En els llibres de text actuals es dóna la fórmula per coneguda i es presenta una demostració elegant que permet verificar que la fórmula, efectivament, dóna els resultats de l'equació.

Una altra manera més pedagògica és seguir un camí equivalent al que es va seguir en la història a base de combinar la solució geomètrica de completar el quadrat amb la notació algebraica.

També es pot arribar a la fórmula que resol l'equació fent un canvi de variable per tal d'eliminar el terme en x i poder-la resoldre directament extraient l'arrel quadrada del terme independent.

Demostració[modifica | modifica el codi]

Per a aïllar la x d'una equació de segon grau del tipus

ax^2 + bx + c = 0 \

Es passa la c al segon terme de l'equació:

ax^2 + bx = -c \

Es multipliquen tots dos termes per 4a:

4a^2x^2 + 4abx= - 4ac \

S'afegeix b^2 a tots dos termes:

4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac \

El terme de l'esquerra és un binomi de Newton desenvolupat:

(2ax + b)^2 = b^2 - 4ac \

Es treu l'arrel quadrada de tots dos termes:

\sqrt{(2ax + b)^2} = \sqrt{b^2 - 4ac}

I per tant:

2ax + b = \pm \sqrt{b^2 - 4ac} \


S'aïlla el terme que conté la x:

2ax = -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} \

I finalment s'aïlla la x:

x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}


Obtenció aplicant l'àlgebra al mètode geomètric[modifica | modifica el codi]

En primer lloc es prepara l'equació per facilitar la manipulació geomètrica:

\begin{align}
 & ax^{2}+bx+c=0 \\ 
 & ax^{2}+bx =-c \\ 
 & x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a} \\ 
\end{align}

A partir d'aquí es representen gràficament els termes i es manipulen per tal d'obtenir un quadrat a l'esquerra:

Solució gràfica de l'equació de segon grau

Ara, ja es podrà calcular l'arrel quadrada dels termes de l'esquerra (perquè formen un quadrat) i es continua algebraicament fins a trobar la fórmula que dóna les dues solucions generals.

\begin{align}
 & \left( x+\frac{b}{2a} \right)^{2}=\left( \frac{b}{2a} \right)^{2}-\frac{c}{a} \\ 
 & \left( x+\frac{b}{2a} \right)^{2}=\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a} \\ 
 & \left( x+\frac{b}{2a} \right)^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}} \\ 
 & \sqrt{\left( x+\frac{b}{2a} \right)^{2}}=\pm \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}} \\ 
 & x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ 
 & x=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ 
 & x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ 
\end{align}

Obtenció per canvi de variable[modifica | modifica el codi]

Un altre mètode, que es pot emprar en equacions polinòmiques de qualsevol grau, per tal de transformar-les en una altra equació però amb el segon terme igual a zero, és fer un canvi de variables adequat. En el cas de l'equació de segon grau si el segon terme és igual a zero la solució és immediata i llavors només cal desfer el canvi de variable. Es planteja un canvi de variable del tipus:

\begin{align}
 & x=\left( y+p \right) \\ 
 & x^{2}=\left( y+p \right)^{2}=y^{2}+2py+p^{2} \\ 
\end{align}

Substituint, l'equació original queda:

\begin{align}
 & ax^{2}+bx+c=a\left( y^{2}+2py+p^{2} \right)+b\left( y+p \right)+c \\ 
 & ax^{2}+bx+c=ay^{2}+\left( 2ap+b \right)y+\left( ap^{2}+bp+c \right) \\ 
\end{align}

Perquè el segon terme s'anul·li cal triar p de forma que:

2ap+b=0\Rightarrow p=\frac{-b}{2a}

Substituint, i resolent l'equació transformada surt:

\begin{align}
 & ay^{2}+\left( ap^{2}+bp+c \right)=0 \\ 
 & ay^{2}+\left( a\left( \frac{-b}{2a} \right)^{2}+b\frac{-b}{2a}+c \right)=0 \\ 
 & ay^{2}+\left( \frac{b^{2}}{4a}-\frac{b^{2}}{2a}+c \right)=0 \\ 
 & ay^{2}+\left( -\frac{b^{2}}{4a}+c \right)=0 \\ 
 & ay^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a} \\ 
 & y^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}} \\ 
 & y=\pm \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}} \\ 
 & y=\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ 
\end{align}

I desfent el canvi de variable:

\begin{align}
 & x=y+p=\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}+\frac{-b}{2a} \\ 
 & x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ 
\end{align}

Aplicació a equacions de grau superiors[modifica | modifica el codi]

Certes equacions de grau superior es poden transformar en equacions de segon grau i resoldre-les d'aquesta manera. Les equacions de la forma ax^4+bx^2+c=0, anomenades equacions biquadrades, es resolen amb el canvi de variable t=x^2. Però hi ha altres casos en què es poden aplicar tècniques semblants, per exemple l'equació de 6è grau en x:

x^6 - 4x^3 + 8 = 0\,

Es pot reescriure com:

(x^3)^2 - 4(x^3) + 8 = 0\,,

O, de forma equivalent, com una equació de segon grau d'una nova variable u:

u^2 - 4u + 8 = 0,\,

on

u = x^3.\,

Resolent l'equació de segon grau en u resulten les dues solucions:

u = 2 \pm 2i.

Així

x^3 = 2 \pm 2i\,.

Tot seguit cal trobar les tres arrels cúbiques de 2 + 2i – les altres tres solucions de x seran les seves conjugades – reescrivint el cantó dret a base de fer servir la fórmula d'Euler:

x^3 = 2^{\tfrac{3}{2}}e^{\tfrac{1}{4}\pi i} = 2^{\tfrac{3}{2}}e^{\tfrac{8k+1}{4}\pi i}\,

(donat que e2kπi = 1), dóna les tres solucions:

x = 2^{\tfrac{1}{2}}e^{\tfrac{8k+1}{12}\pi i}\,,~k = 0, 1, 2\,.

Fent servir les fórmules d'Euler un altre cop, conjuntament amb les identitats trigonomètriques -com ara cos(π/12) = {\left( \sqrt{2}+\sqrt{6} \right)}/{4}\;-, i sumant els complexos conjugats, s'obté la col·lecció completa de solucions:

x_{1,2} = -1 \pm i,\,
x_{3,4} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \pm \frac{1 - \sqrt{3}}{2}i\,

i

x_{5,6} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \pm \frac{1 + \sqrt{3}}{2}i.\,

Fórmula alternativa[modifica | modifica el codi]

En algunes situacions és preferible expressar les arrels en una forma alternativa.

x =\frac{2c}{-b \mp \sqrt {b^2-4ac\ }}.

Aquesta alternativa requereix que c sigui diferent de zero; si c és zero, la fórmula dóna, correctament, zero com una de les arrels, però falla en donar cap segona arrel diferent de zero. En compte d'això, una de les dues eleccions de ∓ produeix un error de divisió per zero, que és indefinit.

Si c és diferent de zero el resultat és el mateix que amb l'expressió habitual:

\begin{align}
 \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}
 &{}= \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} \cdot \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac\ }}{-b - \sqrt {b^2-4ac\ }} \\
 &{}= \frac{4ac}{2a \left ( -b - \sqrt {b^2-4ac} \right ) } \\
 &{}=\frac{2c}{-b - \sqrt {b^2-4ac\ }}.
\end{align}

Aquesta forma alternativa pot reduir la pèrdua de precisió en el càlcul numèric de les arrels, cosa que pot ser un problema si una de les arrels és molt més petita que l'altra en magnitud absoluta. El problema de la possibilitat que c sigui zero es pot evitar fent servir un enfocament mixt:

x_1 = \frac{-b - \sgn b \,\sqrt {b^2-4ac}}{2a},
x_2 = \frac{c}{ax_1}.

Aquí sgn indica la funció signe.

Implementació en aritmètica de coma flotant[modifica | modifica el codi]

Un algorisme amb una implementació curosa de la solució de l'equació de segon grau, si fa servir aritmètica de coma flotant, per produir un resultat robust, difereix una mica de les dues fórmules. Suposant que el discriminant, b2−4ac, sigui positiu i b diferent de zero, el codi serà quelcom com el que segueix.

t := -\tfrac12 \big( b + \sgn(b) \sqrt{b^2-4ac} \big) \,\!
x_{1} := t/a \,\!
x_{2} := c/t \,\!

Aquí sgn(b) és la funció signe, on sgn(b) és 1 si b és positiu i −1 si b és negatiu; el seu ús assegura que les quantitats que se sumen són del mateix signe, evitant la cancel·lació catastròfica (pèrdua de digits significatius en restar dues magnituds molt semblants). El càlcul de r2 fa servir el fet que el producte de les arrels és c/a.

Fórmules de Viète[modifica | modifica el codi]

Les fórmules de Viète donen una relació senzilla entre les arrels d'un polinomi i els seus coeficients. En el cas del polinomi de segon grau, adopten la següent forma:

 x_+ + x_- = -\frac{b}{a}

i

 x_+ \cdot x_- = \frac{c}{a}.

La primera fórmula dóna una expressió interessant quan es vol dibuixar la gràfica d'una funció polinòmica de segon grau. Com que la gràfica és simètrica respecte d'una línia vertical que passa pel vèrtex, quan hi ha dies arrels reals, la coordenada x del vèrtex es troba en el punt mitjà entre les dues arrels. Per tant la coordenada x del vèrtex ve donada per l'expressió:

 x_V = \frac {x_+ + x_-} {2} = -\frac{b}{2a}.

La coordenada y del vèrtex es pot trobar, un cop se sap la coordenada x, a base de substituir en la funció, això dona

 y_V = - \frac{b^2}{4a} + c = - \frac{ b^2 - 4ac} {4a}.

Discriminant[modifica | modifica el codi]

Exemple de diferents signes del discriminant
<0: x2+12
=0: −43x2+43x13
>0: 32x2+12x43

En la fórmula de la solució general de l'equació de segon grau, de l'expressió de dins del signe arrel quadrada:

\Delta = b^2 - 4ac, \,\!

Se'n diu el discriminant de l'equació de segon grau.


Una equació de segon grau amb coeficients reals pot tenir, o bé una o dues arrels reals, o bé dues arrels complexes diferents (conjugades). En aquest cas el discriminant determina el nombre i la classe de les arrels. Hi ha tres casos:

  • Si el discriminant és positiu, hi ha dues arrels reals diferents. Pel cas d'equacions de segon grau amb coeficients enters, si el discriminant és un quadrat perfecte, llavors les arrels són nombres racionals—en els altres casos poden ser irracionals quadràtics.
  • Si el discriminant és zero, hi ha exactament una arrel i és un nombre real. De vegades se'n diu arrel doble, el seu valor és:
    x = -\frac{b}{2a}. \,\!
  • Si el discriminant és negatiu, no hi ha arrels reals. En canvi hi ha dues arrels complexes (no reals) que són conjugades entre si:
    \begin{align}
 x &= \frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a}, \\
 x &= \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a}, \\
 i^2 &= -1.
\end{align}

Per tant, les arrels són diferents si i només si el discriminant és diferent de zero, i les arrels són reals si i només si el discriminant és no negatiu.

Generalitzacions[modifica | modifica el codi]

La fórmula i la seva demostració continuen sent correctes si els coeficients a, b i c són nombres complexos, o de forma més general, nombres de qualsevol cos de característica diferent de 2. (si un cos té característica 2, l'element 2a és un zero i és impossible dividir entre ell.)

El simbol

\pm \sqrt {b^2-4ac}

De la fórmula, s'ha d'entendre com qualsevol dels dos elements, el quadrat dels quals és

b^2-4ac,\,

Si tals elements existeixen. En alguns cossos, alguns elements no tenen arrels quadrades i d'altres en tenen dues; només el zero té exactament una arrel quadrada, excepte en cossos de característica 2. Fixeu-vos que fins i tot si un cos no té arrel quadrada per algun nombre, sempre hi ha una extensió del cos que sí que en té, per tant la fórmula de l'equació de segon grau sempre té sentit com una fórmula en aquest cos estes[Aclariment necessari].

Característica 2[modifica | modifica el codi]

En un cos de característica 2, la fórmula de l'equació de segon grau, que descansa en el fet que 2 sigui diferent de zero, no es manté. Considereu el polinomi mònic de segon grau

\displaystyle x^{2} + bx + c

Sobre un cos de característica 2. Si b = 0, llavors la solució es redueix a extreure una arrel quadrada, per tant la solució es

\displaystyle x = \sqrt{c}

I fixeu-vos que només hi ha una arrel quadrada dons

\displaystyle -\sqrt{c} = -\sqrt{c} + 2\sqrt{c} = \sqrt{c}.

En resum,

\displaystyle x^{2} + c = (x + \sqrt{c})^{2}.

Vegeu residu quadràtic per a més informació sobre extraure arrels quadrades en cossos finits.

En el cas que b ≠ 0, hi ha dues arrels diferents, però si el polinomi és irreductible, no es poden expressar en termes d'arrels quadrades de nombres en el cos de coeficients. En comptes d'això, es defineix la 2-arrel R(c) de c com una arrel del polinomi x2 + x + c, un element del cos de descomposició d'aquest polinomi. Es verifica que R(c) + 1 també és una arrel. En termes de l'operació 2-arrel, les dues arrels de l'equació de segon grau (no mònica) ax2 + bx + c són

\frac{b}{a}R\left(\frac{ac}{b^2}\right)

i

\frac{b}{a}\left(R\left(\frac{ac}{b^2}\right)+1\right).

Per exemple, sia a un generador multiplicatiu del grup d'unitats de F4, el cos de Galois d'ordre quatre (així a i a + 1 són arrels de x2 + x + 1 sobrer F4). Perquè (a + 1)2 = a, a + 1 és l'única solució de l'equació de segon grau x2 + a = 0. Per altra banda, el polinomi x + ax + 1 és irreductible sobre F4, pero parteix sobre F16, on té les dues arrels ab i ab + a, on b és una arrel de x2 + x + a en F16.

Aquest és un cas especial de la teoria de Artin-Schreier.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Llibre de Geometria, Abraham Bar Hiia (Savasorda), Biblioteca Hebraico-Catalana, ISBN 978-84-9859-106-4, traduït i comentat per Josep Maria Millàs i Vallicrosa, pàgina 39

Stillwell, John. 2004. Mathematics and its History. Berlin and New York: Springer-Verlag. 542 pages. p. 86

The History Behind The Quadratic Formula: http://www.bbc.co.uk/dna/h2g2/A2982567

Llibre[modifica | modifica el codi]

Vedic Mathematics: Sixteen Simple Mathematical Formulae from the Vedas, by Swami Sankaracarya (1884-1960), Motilal Banarsidass Indological Publishers and Booksellers, Varnasi, India, 1965; reprinted in Delhi, India, 1975, 1978. 367 pages.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Equació de segon grau Modifica l'enllaç a Wikidata