Equació diferencial de Bernoulli

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Vegeu «Principi de Bernoulli» per a informació sobre l'equació en el camp de la dinàmica de fluids.

En matemàtiques, s'anomena equació diferencial de Bernoulli (o sovint equació de Bernoulli) a una equació diferencial ordinària de la forma

y'+ P(x)y = Q(x)y^n\,

Per resoldre aquesta equació, s'han de seguir els següents passos: Dividir entre y^n:

\frac{y'}{y^{n}} + \frac{P(x)}{y^{n-1}} = Q(x). (1)

Fer un canvi de variables amb

w=\frac{1}{y^{n-1}}

i

w'=\frac{(1-n)}{y^{n}}y'.

Després de substituir, s'aconsegueix l'equació diferencial de primer ordre

\frac{w'}{1-n} + P(x)w = Q(x) (2)

que es pot resoldre fent servir el factor d'integració

M(x)= e^{(1-n)\int P(x)dx}

Exemple[modifica | modifica el codi]

Donada l'equació de Bernoulli següent

y' - \frac{2y}{x} = -x^2y^2

Després de dividir per y^2, aconseguim

y'y^{-2} - \frac{2}{x}y^{-1} = -x^2

de manera que el canvi de variables és

w = \frac{1}{y} i w' = \frac{-y'}{y^2}

Això porta a

w' + \frac{2}{x}w = x^2

que es pot resoldre fent servir el factor d'integració

M(x)= e^{2\int \frac{1}{x}dx} = x^2

Després de multiplicar les dues bandes per M(x) es té que

w'x^2 + 2xw = x^4,\,

i es pot observar que la banda esquerra és la derivada de wx^2 (recordant que w és una funció de x). Integrant a les dues bandes, es troba

\int (wx^2)' dx = \int x^4 dx

que dóna

wx^2 = \frac{1}{5}x^5 + C,
\frac{1}{y}x^2 = \frac{1}{5}x^5 + C

i finalment

y = \frac{x^2}{\frac{1}{5}x^5 + C}