Equació diferencial de Bernoulli

Vegeu «Principi de Bernoulli» per a informació sobre l'equació en el camp de la dinàmica de fluids.

En matemàtiques, s'anomena equació diferencial de Bernoulli (o sovint equació de Bernoulli) a una equació diferencial ordinària de la forma

$y'+ P(x)y = Q(x)y^n\,$

Per resoldre aquesta equació, s'han de seguir els següents passos: Dividir entre $y^n$:

$\frac{y'}{y^{n}} + \frac{P(x)}{y^{n-1}} = Q(x).$ (1)

Fer un canvi de variables amb

$w=\frac{1}{y^{n-1}}$

i

$w'=\frac{(1-n)}{y^{n}}y'.$

Després de substituir, s'aconsegueix l'equació diferencial de primer ordre

$\frac{w'}{1-n} + P(x)w = Q(x)$ (2)

que es pot resoldre fent servir el factor d'integració

$M(x)= e^{(1-n)\int P(x)dx}$

Exemple

Donada l'equació de Bernoulli següent

$y' - \frac{2y}{x} = -x^2y^2$

Després de dividir per $y^2$, aconseguim

$y'y^{-2} - \frac{2}{x}y^{-1} = -x^2$

de manera que el canvi de variables és

$w = \frac{1}{y}$ i $w' = \frac{-y'}{y^2}$

Això porta a

$w' + \frac{2}{x}w = x^2$

que es pot resoldre fent servir el factor d'integració

$M(x)= e^{2\int \frac{1}{x}dx} = x^2$

Després de multiplicar les dues bandes per $M(x)$ es té que

$w'x^2 + 2xw = x^4,\,$

i es pot observar que la banda esquerra és la derivada de $wx^2$ (recordant que $w$ és una funció de $x$). Integrant a les dues bandes, es troba

$\int (wx^2)' dx = \int x^4 dx$

que dóna

$wx^2 = \frac{1}{5}x^5 + C,$

$\frac{1}{y}x^2 = \frac{1}{5}x^5 + C$

i finalment

$y = \frac{x^2}{\frac{1}{5}x^5 + C}$