Equacions de Cauchy-Riemann

Les equacions de Cauchy-Riemann caracteritzen les funcions d'una variable complexa diferenciables en sentit complex entre les funcions diferenciables en sentit real: són condicions necessàries i suficients relatives a les derivades parcials d'una funció diferenciable en sentit real perquè sigui diferenciable en sentit complex.

Considerem aquí una funció $\ f : U \to \mathbb{{C}}$ d'una variable complexa, definida en un obert U de $\mathbb{{C}}$. Emprem les notacions següents:

• la variable complexa $\ z$ es nota per $\ x + i\, y$, on x, y són reals
• les parts real i imaginària de $\ f(z) = f(x + i\, y)$ es noten respectivament per $\ P(x, y)$ i $\ Q(x, y)$, es a dir: $\ f(z) = P(x, y) + i\, Q(x, y)$, on $\ P,\, Q$ són dues funcions reals de dues variables reals.

Les equacions de Cauchy-Riemann en $\ z_0 = x_0 + i\, y_0$ es poden escriure sota les formes equivalents següents:

• $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = i\, \frac{\partial f}{\partial x}(z_0)$
• $\frac{\partial P}{\partial x}(x_0, y_0) = \frac{\partial Q}{\partial y}(x_0, y_0)$ i $\frac{\partial P}{\partial y}(x_0, y_0) = -\frac{\partial Q}{\partial x}(x_0, y_0)$
• $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0) = 0$

Funcions d'una variable complexa diferenciables en sentit complex

Definició

Diem que la funció $f : U \to \mathbb{C}$ és diferenciable en sentit complex, o $\mathbb{C}$-diferenciable (o derivable) en un punt $\ z_0 \in U$ si existeix el límit (finit) $f'(z_0) = \lim_{h \to 0,\, h\, \in\, \mathbb{C}^*} \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h}$, anomenat derivada de f en $\ z_0$.

Fixem-nos que aquesta condició de $\mathbb{{C}}$-diferenciabilitat per a funcions de variable complexa és molt més restrictiva que l'equivalent per a funcions de variable real. L'origen d'això es troba en el fet que per a funcions de variable real per a la diferenciabilitat en un punt només cal exigir que existeixin i siguin iguals els límits per la dreta i per l'esquerra quan els increments Δx tendeixen a zero, ja que són les dues úniques possibilitats d'aproximar-se al punt. En canvi, en el pla complex hi ha infinites possibilitats (infinits camins) per aproximar-se a un punt determinat.

Un cas important

Es diu que una funció és holomorfa en un obert de $\mathbb{C}$ si és $\mathbb{C}$-diferenciable en tot punt d'aquell obert.

Caracterització de les funcions diferenciables en sentit complex

Teorema

• Les funcions $\mathbb{C}$-diferenciables en un punt $\ z_0 = x_0 + i\, y_0 \in U$ (on $\ x_0,\, y_0$ són reals) son aquelles funcions
  • diferenciables en sentit real en $\ z_0$
  • i que, a més a més, compleixen les equacions de Cauchy-Riemann en $\ z_0$. Aquestes equacions es poden escriure sota les formes equivalents següents:
    • $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = i\, \frac{\partial f}{\partial x}(z_0)$
    • $\frac{\partial P}{\partial x}(x_0, y_0) = \frac{\partial Q}{\partial y}(x_0, y_0)$ i $\frac{\partial P}{\partial y}(x_0, y_0) = -\frac{\partial Q}{\partial x}(x_0, y_0)$
    • $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0) = 0$
• En aquest cas:
  • la diferencial de $\ f$ al punt $\ z_0$ és l'aplicació $\ df_{z_0} : \mathbb{C} \to \mathbb{C}, h \mapsto f'(z_0)\, h$
  • $\ f'(z_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = - i\, \frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = \frac{\partial f}{\partial z}(z_0)$

Demostració del teorema 

Es conserven les notacions precedents; en particular, es nota per r un real tal que $\ r > 0$ i $\ B(z_0,\, r) \subset U$, i per h un nombre complex tal que $\ |h| < r$.

• Suposem que $\ f$ sigui $\mathbb{C}$-diferenciable en $z_0 \in U$: aleshores $\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} \to A$ quan $h \to 0$ (hem notat per $\ A$ la derivada $\ f'(z_0)$).
  • Es defineix $\ \epsilon : \ B(0,\, r) \to \mathbb{C}$ (funció d'una variable complexa):
    • $\ \epsilon(0) = 0$
    • $\epsilon(h) = \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} - A$ si $h \neq 0$ (*).
      Aleshores (per definició de A): $\epsilon(h) \to 0$ quan $h \to 0$
    • (*) es pot escriure: $f(z_0+h) = f(z_0) + A\, h + h\, \epsilon(h)$ (quan $\ h \neq 0$, i també quan $\ h = 0$),
    • o sigui: $f(z_0+h) = f(z_0) + L(h) + h\, \epsilon(h)$, on $\ L(h) = A\, h$ (**)
  • És clar que l'aplicació $L : \mathbb{C} \to \mathbb{C}, h \mapsto A\, h$ és $\mathbb{R}$-lineal (fins i tot $\mathbb{C}$-lineal, propietat més forta). Per tant:
    • $\ f$ és $\mathbb{R}$-diferenciable en $\ z_0$
    • $\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = L(1) = A$, $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = L(i) = A\, i$, i finalment : $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = i\, \frac{\partial f}{\partial x}(z_0)$.
• Recíproc : suposem que $\ f$ sigui $\mathbb{R}$-diferenciable en $z_0 \in U$ i que $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = i\, \frac{\partial f}{\partial x}(z_0)$, altrament dit: $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = i\, A$, on $A = \frac{\partial f}{\partial x}(z_0)$ (no s'utilitza aquí cap hipòtesi de continuïtat de les derivades parcials: la hipòtesi precedent concerneix un únic punt. Es podria imaginar que $\ f$ no fos diferenciable en cap altre punt).
  • Per hipòtesi, en notar per L la $\mathbb{R}$-diferencial de $\ f$ en $\ z_0$:
    • $f(z_0+h) = f(z_0) + L(h) + h\, \epsilon(h)$, on $\epsilon(h) \to 0$ quan $h \to 0$
    • Si $\ h = u + i\, v$ (u, v reals), aleshores per $\mathbb{R}$-linealitat de L : $\, L(h) = u\, L(1)+ v\, L(i) = u\, \frac{\partial f}{\partial x}(z_0)+ v\, \frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = u\, A + v\, i\, A = A\, (u + i\, v) = A\, h$
    • Per tant: $f(z_0+h) = f(z_0) + A\, h + h\, \epsilon(h)$, i $\epsilon(h) \to 0$ quan $h \to 0$
    • Si $h \neq 0$, se'n dedueix que: $\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} = A + \epsilon(h) \to A$ quan $h \to 0$. L'existència d'aquest límit prova que $\ f$ és $\mathbb{C}$-diferenciable en $\ z_0$ (es a dir: $\ f'(z_0)$ existeix), i que $\ f'(z_0) = A \left(= \frac{\partial f}{\partial x}(z_0)\right)$.
    • Això prova també que quan $\ f$ és $\mathbb{C}$-diferenciable en $\ z_0$:
      • la seva diferencial és l'aplicació $\ L : \mathbb{C} \to \mathbb{C},\, h \mapsto A\, h = f'(z_0)\, h$
      • $\ f'(z_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = \frac{\partial f}{\partial z}(z_0) + \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0) = \frac{\partial f}{\partial z}(z_0)$, perquè $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0) = 0$.

 

Un cas important

La caracterització següent de les funcions holomorfes és una conseqüència immediata del teorema precedent, aplicat en cada punt.

Teorema: una funció $\ f : U \to \mathbb{C}$ és holomorfa en l'obert U de $\mathbb{C}$ si i només si:

1. és diferenciable en sentit real en tot punt de U,
2. i compleix les equacions de Cauchy-Riemann en tot punt de U

Exemples

• La funció $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}, z \mapsto \bar{z}$ és (almenys) de classe $\ C^1$ en $\mathbb{C}$, per tant hi és $\mathbb{R}$-diferenciable; però no és $\mathbb{C}$-diferenciable en cap punt, perquè no compleix les equacions de Cauchy-Riemann en cap punt. En efecte, com que $\ f(z) = x -\, i\, y$:
  • $\ \frac{\partial f}{\partial x}(z) = 1$
  • $\ \frac{\partial f}{\partial y}(z) = -i$: per a tot $\ z \in \mathbb{C}$, $\ \frac{\partial f}{\partial y}(z) \neq i\ \frac{\partial f}{\partial x}(z)$.
• La funció $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}, z \mapsto |z|^2$ és (almenys) de classe $\ C^1$ en $\mathbb{C}$, per tant hi és $\mathbb{R}$-diferenciable; és $\mathbb{C}$-diferenciable en 0 i només en aquest punt (no és holomorfa en cap obert: el conjunt $\ \{0\}$ dels seus punts de $\mathbb{C}$-diferenciabilitat té interior buit).
• La funció $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}, z \mapsto z^2$ és holomorfa en $\mathbb{C}$ i per a tot $\ z \in \mathbb{C}$, $\ f'(z) = 2\, z$. En efecte, si $\ z_0 \in \mathbb{C}$ i $\ h \in\mathbb{C}^*$, $\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} = 2\ z_0 + h \to 2\, z_0$ quan $\ h \to 0$. Es té $\ f(z) = x^2 - y^2 + 2\, i\, x\, y$, per tant:
  • $\ \frac{\partial f}{\partial x}(z) = 2\, x + 2\, i\, y = 2\, z$
  • $\ \frac{\partial f}{\partial y}(z) = -2\, y + 2\, i\, x = 2\, i\, z = i\ \frac{\partial f}{\partial x}(z)$ (equacions de Cauchy-Riemann en z).

Un exemple on les derivades parcials no són contínues

Se sap que tota funció holomorfa en un obert té derivades parcials contínues en aquest obert (això no forma part de la definició; la continuïtat de les derivades parcials i àdhuc el caràcter infinitament diferenciable de la funció és una conseqüència de la teoria de Cauchy). Tanmateix, és possible que una funció diferenciable compleixi les equacions de Cauchy-Riemann en un conjunt no obert (per exemple en un únic punt) i que les seves derivades parcials no siguin contínues.

Contraexemple 

Una funció $\mathbb{R}$-diferenciable en $\mathbb{C}$ i $\mathbb{C}$-diferenciable en 0, les derivades parcials de la qual no són contínues en 0.

• Es defineix $\ f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$:
  • $f(z) = x\, y \sin \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ si $\ z \neq 0$
  • $\ f(0) = 0$
• La funció $\ f$ és (almenys) de classe $\ C^1$ en $\mathbb{C}^* = \mathbb{C} \setminus \{0\}$; per tant, és $\mathbb{R}$-diferenciable en $\mathbb{C}^*$.
• $\forall z \in \mathbb{C}^*$, $\ | f(z) | \leq |x\, y | \leq \frac{1}{2}\, \left(x^2 + y^2\right) = \frac{1}{2}\, |z|^2$; per tant $\left| \frac{f(z) - f(0)}{z - 0} \right| =\frac{|f(z)|}{|z|} \leq \frac{1}{2}\, |z|.$ Se'n dedueix que $\frac{f(z) - f(0)}{z - 0} \to 0$ quan $z \to 0$: $\ f$ és $\mathbb{C}$-diferenciable en 0 i $\ f'(0) = 0$; a fortiori, $\ f$ és $\mathbb{R}$-diferenciable en 0 i $\ \frac{\partial f}{\partial x}(0) = f'(0) = 0$, $\ \frac{\partial f}{\partial y}(0) = i f'(0) = 0$ (hem provat que $\ f$ és $\mathbb{R}$-diferenciable en $\mathbb{C}^* \cup \{0\} =\mathbb{C}$)
• Si $\ z \neq 0$, $\ \frac{\partial f}{\partial x}(z) = y \sin \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} - \frac{x^2 y}{(x^2 + y^2)^{3/2}} \cos \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}$.
• Per a tot $\ k \in \mathbb{N}^*$, sigui $\ z_k = \frac{1 + i}{k\, \pi \sqrt{2}}$. Un càlcul elemental dóna: per a tot $\ k \in \mathbb{N}^*, \frac{\partial f}{\partial x}(z_k) = \frac{(-1)^{k-1}}{2^{3/2}}$.
• Com que $\ z_k \to 0$ quan $k \to +\infty$ i $\frac{\partial f}{\partial x} (z_k)$ no convergeix cap a $\frac{\partial f}{\partial x}(0) = 0$, la funció $\ \frac{\partial f}{\partial x}$ no és contínua en 0. Es demostra de la mateixa manera que la funció $\ \frac{\partial f}{\partial y}$ tampoc no és contínua en 0.