Equacions de Cauchy-Riemann

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Les equacions de Cauchy-Riemann caracteritzen les funcions d'una variable complexa diferenciables en sentit complex entre les funcions diferenciables en sentit real: són condicions necessàries i suficients relatives a les derivades parcials d'una funció diferenciable en sentit real perquè sigui diferenciable en sentit complex.

Considerem aquí una funció  \ f : U \to \mathbb{{C}} d'una variable complexa, definida en un obert U de \mathbb{{C}}. Emprem les notacions següents:

  • la variable complexa \ z es nota per \ x + i\, y, on x, y són reals
  • les parts real i imaginària de \ f(z) = f(x + i\, y) es noten respectivament per \ P(x, y) i \ Q(x, y), és a dir: \ f(z) = P(x, y) + i\, Q(x, y), on \ P,\, Q són dues funcions reals de dues variables reals.

Les equacions de Cauchy-Riemann en \ z_0 = x_0 + i\, y_0 es poden escriure sota les formes equivalents següents:

  • \frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = i\, \frac{\partial f}{\partial x}(z_0)
  • \frac{\partial P}{\partial x}(x_0, y_0) = \frac{\partial Q}{\partial y}(x_0, y_0) i \frac{\partial P}{\partial y}(x_0, y_0) = -\frac{\partial Q}{\partial x}(x_0, y_0)
  • \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0) = 0

Funcions d'una variable complexa diferenciables en sentit complex[modifica | modifica el codi]

Definició[modifica | modifica el codi]

Diem que la funció f : U \to \mathbb{C} és diferenciable en sentit complex, o \mathbb{C}-diferenciable (o derivable) en un punt \ z_0 \in U si existeix el límit (finit) f'(z_0) = \lim_{h \to 0,\, h\, \in\, \mathbb{C}^*} \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} , anomenat derivada de f en \ z_0.

Fixem-nos que aquesta condició de \mathbb{{C}}-diferenciabilitat per a funcions de variable complexa és molt més restrictiva que l'equivalent per a funcions de variable real. L'origen d'això es troba en el fet que per a funcions de variable real per a la diferenciabilitat en un punt només cal exigir que existeixin i siguin iguals els límits per la dreta i per l'esquerra quan els increments Δx tendeixen a zero, ja que són les dues úniques possibilitats d'aproximar-se al punt. En canvi, en el pla complex hi ha infinites possibilitats (infinits camins) per aproximar-se a un punt determinat.

Un cas important[modifica | modifica el codi]

Es diu que una funció és holomorfa en un obert de \mathbb{C} si és \mathbb{C}-diferenciable en tot punt d'aquell obert.

Caracterització de les funcions diferenciables en sentit complex[modifica | modifica el codi]

Teorema[modifica | modifica el codi]

  • Les funcions \mathbb{C}-diferenciables en un punt \ z_0 = x_0 + i\, y_0 \in U (on \ x_0,\, y_0 són reals) son aquelles funcions
    • diferenciables en sentit real en \ z_0
    • i que, a més a més, compleixen les equacions de Cauchy-Riemann en \ z_0. Aquestes equacions es poden escriure sota les formes equivalents següents:
      • \frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = i\, \frac{\partial f}{\partial x}(z_0)
      • \frac{\partial P}{\partial x}(x_0, y_0) = \frac{\partial Q}{\partial y}(x_0, y_0) i \frac{\partial P}{\partial y}(x_0, y_0) = -\frac{\partial Q}{\partial x}(x_0, y_0)
      • \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0) = 0
  • En aquest cas:
    • la diferencial de \ f al punt \ z_0 és l'aplicació \ df_{z_0} : \mathbb{C} \to \mathbb{C}, h \mapsto f'(z_0)\, h
    • \ f'(z_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = - i\, \frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = \frac{\partial f}{\partial z}(z_0)


Un cas important[modifica | modifica el codi]

La caracterització següent de les funcions holomorfes és una conseqüència immediata del teorema precedent, aplicat en cada punt.

Teorema: una funció \ f : U \to \mathbb{C} és holomorfa en l'obert U de  \mathbb{C} si i només si:

  1. és diferenciable en sentit real en tot punt de U,
  2. i compleix les equacions de Cauchy-Riemann en tot punt de U

Exemples[modifica | modifica el codi]

  • La funció f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}, z \mapsto \bar{z} és (almenys) de classe \ C^1 en \mathbb{C}, per tant hi és \mathbb{R}-diferenciable; però no és \mathbb{C}-diferenciable en cap punt, perquè no compleix les equacions de Cauchy-Riemann en cap punt. En efecte, com que \ f(z) = x -\, i\, y:
    • \ \frac{\partial f}{\partial x}(z) = 1
    • \ \frac{\partial f}{\partial y}(z) = -i : per a tot \ z \in \mathbb{C}, \ \frac{\partial f}{\partial y}(z) \neq i\ \frac{\partial f}{\partial x}(z).
  • La funció f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}, z \mapsto |z|^2 és (almenys) de classe \ C^1 en \mathbb{C}, per tant hi és \mathbb{R}-diferenciable; és \mathbb{C}-diferenciable en 0 i només en aquest punt (no és holomorfa en cap obert: el conjunt \ \{0\} dels seus punts de \mathbb{C}-diferenciabilitat té interior buit).
  • La funció f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}, z \mapsto z^2 és holomorfa en \mathbb{C} i per a tot \ z \in \mathbb{C}, \ f'(z) = 2\, z. En efecte, si \ z_0 \in \mathbb{C} i \ h \in\mathbb{C}^*, \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} = 2\ z_0 + h \to 2\, z_0 quan \ h \to 0. Es té \ f(z) = x^2 - y^2 + 2\, i\, x\, y, per tant:
    • \ \frac{\partial f}{\partial x}(z) = 2\, x + 2\, i\, y = 2\, z
    • \ \frac{\partial f}{\partial y}(z) = -2\, y + 2\, i\, x = 2\, i\, z = i\ \frac{\partial f}{\partial x}(z) (equacions de Cauchy-Riemann en z).

Un exemple on les derivades parcials no són contínues[modifica | modifica el codi]

Se sap que tota funció holomorfa en un obert té derivades parcials contínues en aquest obert (això no forma part de la definició; la continuïtat de les derivades parcials i àdhuc el caràcter infinitament diferenciable de la funció és una conseqüència de la teoria de Cauchy). Tanmateix, és possible que una funció diferenciable compleixi les equacions de Cauchy-Riemann en un conjunt no obert (per exemple en un únic punt) i que les seves derivades parcials no siguin contínues.