Equacions de Friedmann

Les equacions de Friedmann són un conjunt d'equacions en cosmologia física que governen l'expansió mètrica de l'espai en models homogenis i isòtrops de l'Univers dins del context de la teoria de la relativitat general. Van ser descobertes per Alexander Friedmann el 1922 a partir de les equacions de camp d'Einstein per a la mètrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker i un fluid amb una densitat d'energia ($\rho$) i una pressió ($p$) i una pressió (pàg.) determinada.

Les equacions

Les equacions són:

$H^2 \equiv \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G \rho + \Lambda}{3} - K\frac{c^2}{a^2}$

$3\frac{\ddot{a}}{a} = \Lambda - 4 \pi G (\rho + \frac{3p}{c^2})$

• $\Lambda$ és la constant cosmològica possiblement causada per l'energia del buit
• $G$ és la constant de gravitació
• $c$ és la velocitat de la llum
• $a$ és el factor d'escala de l'Univers
• $K$ és la curvatura gaussiana quan $a = 1$ (per exemple, avui).

Si la forma de l'univers és hiperesfèrica i $R$ és el radi de curvatura ($R_0$ en el moment actual), llavors $a = R/R_0$. Generalment, $K \over a^2$ és la curvatura gaussiana. Si $K$ és positiva, llavors l'Univers és hiperesfèric. Si $K$ és zero, l'Univers és pla i si $K$ és negatiu l'Univers és hiperbòlic. A més, $\rho$ i $p$ són funció de $a$. El paràmetre de Hubble, $H$, és la velocitat d'expansió de l'univers.

Aquestes equacions de vegades se simplifiquen redefinint la densitat d'energia i la pressió:

$\rho \rightarrow \rho - \frac{\Lambda}{8 \pi G}$

$p \rightarrow p + \frac{\Lambda c^2}{8 \pi G}$

per a obtenir:

$H^2 \equiv \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - K\frac{c^2}{a^2}$

$3 \, \frac{\ddot{a}}{a} = - 4 \pi G \left(\rho + \frac{3p}{c^2}\right)$

El paràmetre de Hubble pot canviar en el temps si altres elements de l'equació són dependents del temps, en particular la densitat d'energia, l'energia del buit i la curvatura. Avaluant el paràmetre de Hubble en el moment actual surt que la constant de Hubble és la constant de proporcionalitat de la llei de Hubble. Si s'aplica a un fluid amb una equació d'estat determinada, les equacions de Friedmann donen com a resultat l'evolució en el temps i la geometria de l'Univers com a funció de la densitat del fluid.

Alguns cosmòlegs anomenen la segona d'aquestes dues equacions l'equació d'acceleració i es reserven el terme equació de Friedmann només per a la primera equació.

El paràmetre de densitat

El paràmetre de densitat , $\Omega$, es defineix com la relació de la densitat actual, o observada, $\rho$ respecte a la densitat crítica $\rho_c$ de l'Univers de Friedmann. Una expressió per a la densitat crítica es troba assumint que $\Lambda$ és zero, com ho és per a tots els universos de Friedmann bàsics, i establint la curvatura $K$ igual a zero. Quan se substitueixen aquests paràmetres a la primera equació de Friedmann trobem que:

$\rho_c = \frac{3 H^2}{8 \pi G}$

I l'expressió per al paràmetre de densitat, útil per a comparar diferents models cosmològics, és:

$\Omega \equiv \frac{\rho}{\rho_c} = \frac{8 \pi G}{3 H^2}\rho$

Aquest terme originalment va ser utilitzat com una manera de determinar la geometria del camp en el qual $\rho_c$ és la densitat crítica per a la qual la geometria és plana. Assumint una densitat d'energia del buit nul·la, si $\Omega$ és més gran que un, la geometria és tancada i l'Univers eventualment pararà la seva expansió i llavors es col·lapsarà. Si $\Omega$ és menor que u, serà obert i l'Univers s'expandirà per sempre. Tanmateix, també es poden sintetitzar els termes de curvatura i de l'energia del buit en una expressió més general per a en el cas que aquest paràmetre de densitat d'energia sigui exactemente igual a la unitat. Llavors és una qüestió de mesurar els diferents components, normalment designats per subíndexs. D'acord amb el model Lambda-CDM, hi ha importants components de $\Omega$ a causa de barions, matèria fosca freda i energia fosca. La geometria de l'espai-temps va ser mesurada pel satèl·lit WMAP estant a prop de ser una geometria plana, és a dir, el paràmetre de curvatura $K$ és aproximadament zero.

La primera Equació de Friedmann sovint s'escriu formalment amb els paràmetres de densitat.

$\frac{H^2}{H_0^2} = \Omega_R a^{-4} + \Omega_M a^{-3} + \Omega_{\Lambda} - K c^2 a^{-2}$

• $\Omega_R$ és la densitat de radiació actual;
• $\Omega_M$ és la densitat de matèria actual (la fosca més la bariònica);
• $\Omega_\Lambda$ és la constant cosmològica o la densitat de buit actual.

Els valors acceptats en l'actualitat per a aquests paràmetres són de 0,002 per a la densitat de radiació, 0,29±0,03 per a la densitat de matèria fosca i bariònica en l'actualitat, i de 0,71±0,03 per la densitat de l'energía del buit.

Equació de Friedmann reescalada

Establint que $a=\tilde{a}a_0, \rho_c=3H_0^2/8\pi G, \rho=\rho_c \Omega, t=\tilde{t}/H_0, \Omega_c = -K/H_0^2 a_0^2$ on a_0 i H_0 són separadament el factor d'escala i el paràmetre d'Hubble actuals. Llavors podem trobar que:

$\frac{1}{2}\left( \frac{d\tilde{a}}{d\tilde{t}}\right)^2 + U_{\rm eff}(\tilde{a})=\frac{1}{2}\Omega_c$

on $U_{eff}(\tilde{a}) = \Omega\tilde{a}^2/2$. Per a qualsevol forma del potencial efectiu $U_{eff}(\tilde{a})$, hi ha una equació d'estat $p = p(\rho)$ que la produirà.

Vegeu també

• Big Bang
• Fons còsmic de microones