Equicontinuïtat

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Equicontinuïtat Siguin (X,\mathcal{T}) \, espai topològic, (Y,d)\, espai mètric, i x_0 un punt a X. Un conjunt H de funcions de X a Y es diu equicontinu a x_0 si i només si per a tot  r>0, \exists A entorn de x_0 tal que \forall f \in H, f(A)\subseteq  B(f (x_o),r)

En particular, si H és equicontinu a x_0, aleshores totes les funcions que pertanyen a H són contínues a x_0.

Direm que H és equicontínua si ho és per a tot x_0 \in X .

Exemples[modifica | modifica el codi]

  1. Si H és una família finita de funcions contínues, aleshores és equicontínua.
  2. Si (X,\mathcal{T}) \, és mètric i totes les funcions de H són Lipschitz contínues amb una mateixa constant K, aleshores H és equicontínua.
  3. Sigui (X,d)\, espai mètric compacte, si \{f_n\} és una successió de funcions contínues de K a \mathbb{R} uniformement convergent, aleshores \{f_n\} és equicontínua.
  4. Si X,Y\subseteq  \mathbb{R}, totes les funcions de H són derivables, i existeix una constant L>0 tal que \forall f \in H, \forall x \in X, |f'(x)|<L, aleshores es compleix que totes les funcions de H són Lipschitz contínues de constant L, i, per tant, H és equicontinu.

Aquesta última propietat és una de les més utilitzades per verificar l'equicontinuitat d'una família de funcions.