Esfera de Hill

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Gràfic del potencial efectiu d'un sistema de dos cossos degut a la gravetat i la inèrcia en un punt de temps. Les esferes de Hill són les regions circulars que envolten les masses grans.

En astronomia, l'esfera de Hill d'un cos celeste és regió d'influència gravitativa que exerceix un cos sobre els cossos menys massius que orbiten al seu voltant. És a dir, per tal que un planeta pugui mantenir un satèl·lit al voltant seu, cal que l'òrbita del satèl·lit estigui dins de l'esfera de Hill del planeta. Aquest satèl·lit, pot tenir al seu torn una esfera de Hill pròpia. Aquesta esfera fou definida per l'astrònom estatunidenc George William Hill. Es diu també esfera de Roche perquè independentment també fou descrita per l'astrònom francès Édouard Roche.

En considerar un cos central i un segon cos en òrbita al voltant d'ell (per exemple el Sol i Júpiter), en l'esfera de Hill hi intervenen els següents tres camps de força:

  • La gravetat a causa del cos central
  • La gravetat a causa del segon cos
  • La força centrífuga en un marc de referència que gira sobre el cos central amb la mateixa velocitat angular del segon cos.

L'esfera Hill és l'esfera dins de la qual la suma dels tres camps es dirigeix cap al segon cos. Un tercer cos petit pot girar dins de l'esfera de Hill al voltant del segon cos.    L'esfera de Hill s'estén entre els Punts de Lagrange L 1 i L 2 , què estan en la línia que uneix els dos cossos. La regió d'influència del segon cos és més curta en aquesta direcció. Més enllà de la distància de Hill, el tercer objecte en òrbita al voltant de Júpiter patiria la pertorbació progressiva de les forces de marea del cos central, en aquest cas, el Sol, i acabaria en òrbita al seu voltant

Fórmula i exemples[modifica | modifica el codi]

Si la massa del cos més petit és m, i gira en una òrbita amb semieix major a i excentricitat e al voltant d'un cos de massa major M, el radi r de l'esfera de Hill al voltant del cos més petit és:[1]

r \approx a (1-e) \sqrt[3]{\frac{m}{3 M}}

Quan l'excentricitat és petita (el cas més favorable d'estabilitat orbital), tenim:

r \approx a \sqrt[3]{\frac{m}{3 M}}

Per exemple, la Terra (5,97 × 10 24 kg) gira al voltant del Sol (1,99 × 10 30 kg) a una distància de 149,6 × 10 6 km. L'esfera de Hill per a la Terra s'estén així a aproximadament 1,5 × 10 6 km (0,01 UA). L'òrbita de la Lluna, es troba a una distància de 0,370 × 10 6 km de la Terra, per tant es troba còmodament dins de l'esfera gravitatòria d'influència de la Terra i no presenta cap risc de col·locar-se en una òrbita independent al voltant del Sol Pel que fa al període orbital: la Lluna ha d'estar dins de l'esfera on el període orbital no és major de 7 mesos.

La fórmula es pot escriure també:   

3\frac{r^3}{a^3} \approx \frac{m}{M}

Això expressa la relació en volum de l'esfera de Hill comparat amb el volum de l'òrbita del segon cos al voltant del primer; específicament, la proporció de les masses és tres vegades la proporció de volum en aquestes dues esferes.    Una manera ràpida d'estimar el radi de l'esfera de Hill ve de reemplaçar la massa per la densitat en l'equació anterior:   

\frac{r}{R_{secundari}} \approx \frac{a}{R_{primari}} \sqrt[3]{\frac{\rho_{secundari}}{3 \rho_{primari}}} \approx \frac{a}{R_{primari}}

on \rho_{secundari} i \rho_{primari} són les densitats dels cossos primaris i secundaris, \frac{r}{R_{secundari}} y \frac{r}{R_{primari}} són els radis de les seves òrbites expressats en ràdios del secundari i del primari.

La segona aproximació està justificada pel fet que, per a la majoria dels casos en el sistema solar, \sqrt[3]{\frac{\rho_{secundari}}{3 \rho_{primari}}} està sempre a prop d'un. (El sistema Terra-Lluna és l'excepció més gran, i és una aproximació amb un error menor del 20% per a la majoria dels satèl·lits de Saturn.) Cosa que resulta molt convenient a molts astrònoms planetaris que treballen i mesuren les distàncies en unitats de ràdios planetaris.

Veritable regió d'estabilitat[modifica | modifica el codi]

L'esfera de Hill, és només una aproximació, ja que altres forces (com la pressió de radiació o l'efecte Yarkovsky) poden pertorbar un objecte i desplaçar-lo fora de l'esfera. Aquest tercer objecte hauria de ser d'una massa prou petita per no introduir complicacions addicionals a la seva pròpia gravetat. Càlculs numèrics detallats mostren que les òrbites junt o just dins l'esfera de Hill no són estables a llarg termini; sembla que les òrbites estables dels satèl·lits existeixen només dins d'1/1 a 1/3 del radi de Hill. La regió d'estabilitat per a òrbites retrògrades a gran distància del primari, és major que la regió per les òrbites prògrades a gran distància del primari. Això es creia que explicava la preponderància de satèl·lits retrògrads al voltant de Júpiter, no obstant, Saturn té inclús una barreja de prògrads i retrògrads, per aquest motiu les raons són més complicades[2]

Altres exemples[modifica | modifica el codi]

Un astronauta no podria orbitar el Transbordador Espacial (massa = 104 t), en òrbita a 300 km sobre la Terra, ja que l'esfera de Hill és només d'un radi de 12 decímetres, molt més petit que el propi transbordador. De fet, en qualsevol òrbita baixa de la Terra, un cos esfèric ha de ser 800 vegades més dens per cabre dins de la seva pròpia esfera de Hill. Quan més gran és l'òrbita d'un satèl·lit més fàcil és que càpiga en la seva esfera de Hill i pugui tenir un satèl·lit. Un satèl·lit geostacionari (és a dir a 35.786 km d'altura) esfèric no pot tenir mai un satèl·lit, ni tot i ser de osmi, el material natural més dens de la Terra (22.650 kg / m³).

La mateixa Lluna ha d'estar almenys a 3 vegades la distància geostacionaria, o 2 / 7 la seva distància actual, per poder tenir satèl·lits en l'òrbita lunar.   Dins del Sistema Solar, el planeta amb l'esfera de Hill més gran és Neptú, amb 116 × 10 6 km, o 0,775 UA, la seva gran distància del Sol compensa àmpliament la seva menor massa respecte a Júpiter (la seva esfera de Hill mesura 53 × 10 6 km). Un asteroide del cinturó principal tindrà una esfera de Hill que pot arribar 220.000 km (per Ceres), disminuint ràpidament amb el seu massa. En el cas de l'asteroide (66391) 1999 KW4, que creua l'òrbita de Mercuri i què té la lluna (S/2001 (66391) 1), l'esfera de Hill té un radi que varia entre 120 i 22 km depenent de si l'asteroide és a l'afeli o al periheli.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Hamilton, J.A. Burns. «Orbital stability zones about asteroids. II - The destabilizing effects of eccentric orbits and of solar radiation». Icarus, 96, pàg. 43. DOI: 10.1016/0019-1035(92)90005-R.(anglès)
  2. Astakhov, Sergey A.; Wiggins, Stephen. «Chaos-assisted capture of irregular moons». Nature, 423, pàg. 264–267. DOI: 10.1038/nature01622. PMID: 12748635.(anglès)

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]