Espai afí

Històricament, la noció d'espai afí neix del problema creat per l'aparició de noves geometries, perfectament coherents, però diferents a la d'Euclides, i del seu axioma del paral·lelisme. Per aconseguir la seva l'harmonització, va caldre redefinir el concepte d'espai euclidià, excloent-hi el concepte de distància, i tot el que això representa, com longitud i angle. El resultat de tot això, va ser una geometria afí, on l'espai apareix com una estructura algebraica, molt propera a espai vectorial, del que n'ha estat alliberat posteriorment, donant lloc a l'àlgebra lineal.

Història

La demostració del cinquè postulat d'Euclides va originar la creació de les anomenades geometries no-euclideas. Durant aquesta revolució Euler va desenvolupar una nova geometria basada únicament en certs teoremes basats en els postulats I,II,V d'Euclides, d'aquesta formulació va esdevenir la geometria Afí.

Estudiada primerament per Euler i, de gran importància actual ja que es utilitzada en la Geometria de Minkowski de l'espai-temps, amb la geometria Afí ens aproximem al que passa en l'espai físic, on aparentment, no hi ha punts millors que altres. En aquesta geometria estudiarem objectes com rectes i plans y propietats com el paral·lelisme que respon a conceptes estudiats fa temps en geometria.

Definicions

1ª definició d'espai afí

Un espai afí sobre un cos $\mathbb{K}\,$ és el triplet $(A, E,\varphi )\,$ on:

• $A\,$ és un conjunt no buit: $A\neq \emptyset\,$.

• $E\,$ és un espai vectorial.

• $\varphi\,$ és una aplicació $\varphi :A\times A\rightarrow E\,$, que anomenarem estructural, i que compleix:

1.

$\begin{array}{cccc} \varphi_p :& A &\rightarrow & E\\ & q &\mapsto & \varphi(p,q)\\ \end{array}\quad \text{ bijectiva } \forall p \in A$

2.

$\varphi (p,q)+\varphi (q,r)=\varphi (p,r)\,$, $\forall p, q, r \in A\,$.

Notarem

$\varphi (p,q) = \vec{pq}$

i escriurem que $p$ i $q$ són l'origen i l'extrem del vector $\vec{pq}$. Amb aquesta notació, la segona propietat de l'aplicació estructural $\varphi$ es pot escriure com:

$\vec{pq} + \vec{qr} = \vec{pr}$

Els elements del conjunt $A\,$ es diuen punts. $E$ es diu espai vectorial associat a $A\,$ i definim la dimensió de $A\,$ com la dimensió de $E$

2ª definició d'espai afí

Un resultat que ens proporciona una caracterització equivalent d'un espai afí però més còmode en segons quines circumstàncies, és que tot espai afí és pot definir com a conjunt de translacions.

Sent $(A, E , \varphi )$ un espai Afí. Donat $u \in E$ , anomenarem translació de vector $u$ a l'aplicació:

$\begin{array}{cccc} T_u: & A &\rightarrow & A\\ & p &\mapsto & \varphi^{-1}_p(u)\\ \end{array}\quad$

És a dir, $T_u(p)$ és un punt $q$ tal que $\vec{pq}=u$

PROPIETATS:

1) $T_u \text{és bijectiva } \forall u \in E$

2) Si existeix $p \in A$ tal que $T_u (p)= T_v (p)$, aleshores $u=v$

3)Donat $p, q \in A$ . Existeix un, i nomes un $u \in E$ tal que $T_u(p)= q$

Exemples d'espais afins

• Els sistemes d'equacions tenen estructura afí, on les solucions dels sistemes homogenis són elements de l'espai vectorial associat i les solucions particulars del sistema general són punts.

• L'espai afí definit pel triplet $( \mathbb{R}^2,\mathbb{R}^2,\varphi )\,$ on definim $\varphi\,$ per $\varphi ((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})\,$.

És l'espai afí de dimensió 2, o sigui, el pla afí.

• De forma més general, si $\mathbb{K}\,$ és un cos qualsevol, l'espai afí canònic sobre $\mathbb{K}\,$ de dimensió n és el triplet:

$\mathcal A^n ( \mathbb K ) = ( \mathbb K^n , \mathbb K^n , \varphi ) \,$

on $\mathbb K^n \,$ és vist a la vegada com un espai de punts i un $\mathbb K \,$-espai vectorial, i l'aplicació $\varphi\,$ està definida per:

$\varphi ( ( x_1 , x_2 , \dots , x_n ) , ( y_1 , y_2 , \dots , y_n ) )= ( y_1 - x_1 , y_2 - x_2 , \dots , y_n - x_n )\,$

Varietats lineals

Sigui $(A,E,\varphi )\,$ un espai afí. Sigui $a \in A\,$ un punt qualsevol, i $F\,$ un subespai vectorial de $E\,$. Es diu varietat lineal que passa per $a\,$ i té la direcció de $F\,$, el subconjunt de $A\,$

$\left\{ b\in A|\overrightarrow{ab}\in F\right\} \,$

Aquesta varietat lineal es pot designar per: $a+F=\left\{ b\in A;b=a+u,u\in F\right\}\,$.

PROPIETATS:

1. Si $b \in{a+F}\Rightarrow {b+F=a+F}$ 

• 

2. Si $p,q \in{a+F} \Rightarrow{\vec{pq}\in{F}}$

• 

Intersecció i suma de varietats lineals

Intersecció

La intersecció de dues varietats lineals, si no és buida, és una varietat lineal. Aquesta afirmació és una conseqüència de les següents proposicions:

1. Dues varietats $V_1 = a + F$ i $V_2 = b + G$ es tallen si i només si

$\vec{ab}\in{F+G}$

$V_1 \cap V_2 = c + ( F\cap G)$

1. Si dues varietats $V_1 = a + F$ i $V_2 = b + G$ tenen un punt $c$ en comú, aleshores

$V_1 \cap V_2 = c + ( F\cap G)$

Suma de varietats lineals

La unió de dues varietat lineals no és, en general, una varietat lineal. En el seu lloc, pot considerar-se la varietat mínima que conte un conjunt de varietats lineals donandes i que es defineix com, considerant $L_1 = a + F$ i $L_2 = b + F$:

$L_1 \lor L_2 = a + (F + G + \langle \vec{ab} \rangle)$

on $\langle \vec{ab} \rangle$ és l'espai vectorial generat pel vector $\vec{ab}$. Aquesta varietat mínima o generada per $L_1$ i $L_2$ s'anomena també varietat suma de $L_1$ i $L_2$. En aquest cas notarem $(L_1 + L_2)$.

Fórmula de Grassman per varietats lineals

Les proposicions d'aquesta secció amb la definició de varietat suma o mínima ens permeten relacionar les dimensions resultants de les interseccions i sumes de varietats lineals de forma anàloga a les fórmules de Grassmann vectorials. Siguin $L_1 = a + F$ i $L_2 = b + F$ dues varietats lineals.

1. Si $L_1\cap L_2 \neq \emptyset$:

$\text{dim } L_1 + L_2 = \text{dim }L_1 + \text{dim }L_2 - \text{dim }(L_1 \cap L_2)$

1. Si $L_1\cap L_2 = \emptyset$:

$\text{dim } L_1 + L_2 = \text{dim }L_1 + \text{dim }L_2 - \text{dim }(F \cap G) + 1$

Noció de paral·lelisme

En un espai afí $(A,E,\varphi )\,$, dues varietats lineals $a+F, b+G\,$ són paral·leles si $F\sub G\,$o $G\sub F\,$.

Cinquè axioma d'Euclides : En un espai afí , donat un punt $a\,$ i una direcció qualsevol $F\,$, existeix una única varietat que passa pel punt $a\,$, i té a $F\,$ com a direcció.

Referències i notes

Castellet, Manuel; Llerena, Irene. Universitat Autònoma de Barcelona. Àlgebra lineal i geometria, 2005. ISBN 84-7488-943-X.