Espai afí

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Històricament, la noció d'espai afí neix del problema creat per l'aparició de noves geometries, perfectament coherents, però diferents de la d'Euclides, i del seu axioma del paral·lelisme. Per aconseguir la seva l'harmonització, va caldre redefinir el concepte d'espai euclidià, excloent-hi el concepte de distància, i tot el que això representa, com longitud i angle. El resultat de tot això, va ser una geometria afí, on l'espai apareix com una estructura algebraica, molt propera a espai vectorial, del que n'ha estat alliberat posteriorment, donant lloc a l'àlgebra lineal.

Història[modifica | modifica el codi]

La demostració del cinquè postulat d'Euclides va originar la creació de les anomenades geometries no-euclideas. Durant aquesta revolució Euler va desenvolupar una nova geometria basada únicament en certs teoremes basats en els postulats I,II,V d'Euclides, d'aquesta formulació va esdevenir la geometria Afí.

Estudiada primerament per Euler i, de gran importància actual, ja que és utilitzada en la Geometria de Minkowski de l'espai-temps, amb la geometria Afí ens aproximem al que passa en l'espai físic, on aparentment, no hi ha punts millors que altres. En aquesta geometria estudiarem objectes com rectes i plans y propietats com el paral·lelisme que respon a conceptes estudiats fa temps en geometria.

Definicions[modifica | modifica el codi]

1ª definició d'espai afí[modifica | modifica el codi]

Un espai afí sobre un cos \mathbb{K}\, és el triplet (A, E,\varphi )\, on:

  • \varphi\, és una aplicació \varphi :A\times A\rightarrow E\,, que anomenarem estructural, i que compleix:

1.

\begin{array}{cccc}
\varphi_p :& A &\rightarrow & E\\
& q &\mapsto & \varphi(p,q)\\
\end{array}\quad
\text{ bijectiva } \forall p \in A

2.

\varphi (p,q)+\varphi (q,r)=\varphi (p,r)\,, \forall p, q, r \in A\,.

Notarem

\varphi (p,q) = \vec{pq}

i escriurem que p i q són l'origen i l'extrem del vector \vec{pq}. Amb aquesta notació, la segona propietat de l'aplicació estructural \varphi es pot escriure com:

\vec{pq} + \vec{qr} = \vec{pr}

Els elements del conjunt A\, es diuen punts. E es diu espai vectorial associat a A\, i definim la dimensió de A\, com la dimensió de E

2ª definició d'espai afí[modifica | modifica el codi]

Un resultat que ens proporciona una caracterització equivalent d'un espai afí però més còmode en segons quines circumstàncies, és que tot espai afí es pot definir com a conjunt de translacions.


Sigui (A, E, \varphi ) un espai Afí. Donat u \in E, anomenarem translació de vector u a l'aplicació:


\begin{array}{cccc}
 T_u: & A &\rightarrow & A\\
& p &\mapsto & \varphi^{-1}_p(u)\\
\end{array}\quad

És a dir, T_u(p) és un punt q tal que \vec{pq}=u


PROPIETATS:

1) T_u \text{és bijectiva } \forall u \in E

2) Si existeix  p \in A tal que T_u (p)= T_v (p), aleshores u=v

3)Donat p, q \in A. Existeix un, i només un u \in E tal que T_u(p)= q

Exemples d'espais afins[modifica | modifica el codi]

  • Els sistemes d'equacions tenen estructura afí, on les solucions dels sistemes homogenis són elements de l'espai vectorial associat i les solucions particulars del sistema general són punts.
  • L'espai afí definit pel triplet  ( \mathbb{R}^2,\mathbb{R}^2,\varphi )\, on definim \varphi\, per \varphi ((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})\,.

És l'espai afí de dimensió 2, o sigui, el pla afí.

  • De forma més general, si \mathbb{K}\, és un cos qualsevol, l'espai afí canònic sobre \mathbb{K}\, de dimensió n és el triplet:
 \mathcal A^n ( \mathbb K ) = ( \mathbb K^n, \mathbb K^n, \varphi ) \,

on  \mathbb K^n \, és vist a la vegada com un espai de punts i un  \mathbb K \,-espai vectorial, i l'aplicació \varphi\, està definida per:

 \varphi ( ( x_1, x_2, \dots, x_n ), ( y_1, y_2, \dots, y_n ) )= ( y_1 - x_1, y_2 - x_2, \dots, y_n - x_n )\,

Varietats lineals[modifica | modifica el codi]

Sigui (A,E,\varphi )\, un espai afí. Sigui a \in A\, un punt qualsevol, i F\, un subespai vectorial de E\,. Es diu varietat lineal que passa per a\, i té la direcció de F\,, el subconjunt de A\,

\left\{ b\in A|\overrightarrow{ab}\in F\right\} \,

Aquesta varietat lineal es pot designar per: a+F=\left\{ b\in A;b=a+u,u\in F\right\}\,.

PROPIETATS:


1. Si  b \in{a+F}\Rightarrow {b+F=a+F} 
2. Si p,q \in{a+F} \Rightarrow{\vec{pq}\in{F}}

Intersecció i suma de varietats lineals[modifica | modifica el codi]

Intersecció[modifica | modifica el codi]

La intersecció de dues varietats lineals, si no és buida, és una varietat lineal. Aquesta afirmació és una conseqüència de les següents proposicions:

  1. Dues varietats V_1 = a + F i V_2 = b + G es tallen si i només si

\vec{ab}\in{F+G}

Dibuix de dos plans,  i , que es tallen en una recta on hi ha un punt c que pertany als dos plans.
V_1 \cap V_2 = c + ( F\cap G)
  1. Si dues varietats V_1 = a + F i V_2 = b + G tenen un punt c en comú, aleshores

V_1 \cap V_2 = c + ( F\cap G)

Suma de varietats lineals[modifica | modifica el codi]

La unió de dues varietat lineals no és, en general, una varietat lineal. En el seu lloc, pot considerar-se la varietat mínima que conte un conjunt de varietats lineals donandes i que es defineix com, considerant  L_1 = a + F i  L_2 = b + F:

L_1 \lor L_2 = a + (F + G + \langle \vec{ab} \rangle)

on \langle \vec{ab} \rangle és l'espai vectorial generat pel vector \vec{ab}. Aquesta varietat mínima o generada per L_1 i L_2 s'anomena també varietat suma de L_1 i L_2. En aquest cas notarem (L_1 + L_2).

Fórmula de Grassman per varietats lineals[modifica | modifica el codi]

Les proposicions d'aquesta secció amb la definició de varietat suma o mínima ens permeten relacionar les dimensions resultants de les interseccions i sumes de varietats lineals de forma anàloga a les fórmules de Grassmann vectorials. Siguin  L_1 = a + F i  L_2 = b + F dues varietats lineals.

  1. Si L_1\cap L_2 \neq \emptyset:

\text{dim } L_1 + L_2 = \text{dim }L_1 + \text{dim }L_2 - \text{dim }(L_1 \cap L_2)

  1. Si L_1\cap L_2 = \emptyset:

\text{dim } L_1 + L_2 = \text{dim }L_1 + \text{dim }L_2 - \text{dim }(F \cap G) + 1

Noció de paral·lelisme[modifica | modifica el codi]

En un espai afí (A,E,\varphi )\,, dues varietats lineals a+F, b+G\, són paral·leles si F\sub G\,o G\sub F\,.

Cinquè axioma d'Euclides : En un espai afí, donat un punt a\, i una direcció qualsevol F\,, existeix una única varietat que passa pel punt a\,, i té a F\, com a direcció.


Referències i notes[modifica | modifica el codi]

Castellet, Manuel; Llerena, Irene. Universitat Autònoma de Barcelona. Àlgebra lineal i geometria, 2005. ISBN 84-7488-943-X.