Espai completament de Hausdorff

En topologia, els espais completament de Hausdorff i espais de Urysohn (o T_2½) són tipus de espais topològics que satisfan axiomes de separació més forts que els del espai de Hausdorff.

Definicions

Suposem que X és un espai topològic. Siguin x i y punts en X .

• Diem que x i y poden separar-se per veïnatges tancats si hi ha un veïnatge tancat U de x i un veïnatge tancat V de y tal que U i V són disjunts ( U ∩ V = ∅). (Tingueu en compte que un veïnatge tancat de x és un conjunt tancat que contenen un conjunt obert que conté x .)
• Diem que x i y poden ser separats per una funció si hi ha una funció contínua f : X → [0,1] (l'interval unitari) amb f ( x ) = 0 i f ( y ) = 1.

Un espai de Urysohn o espai T _{2 ½} , és un espai en el qual dos punts qualsevol poden separar-se per mitjà de veïnats tancades.

Un espai completament de Haudorff o espai funcional de Hausdorff , és un espai en el qual dos punts diferents poden separar-se per una funció.

Convencions de noms

L'estudi dels axiomes de separació és notori pels problemes amb els noms i les seves convencions. Les definicions utilitzades en aquest article són les donades per Willard (1970) i són les definicions més modernes. Steen i Seebach (1970) i altres autors van invertir les definicions dels espais completament de Hausdorff i els espais de Urysohn.

Relació amb altres axiomes de separació

És un exercici senzill mostrar que dos punts qualsevols que poden separar-se per una funció poden separar-se per veïnats tancades. Si ells poden separar-se per veïnatges tancades llavors clarament poden separar-se per veïnats. Es dedueix que cada espai completament de Hausdorff és de Urysohn i cada espai de Urysohn és de Hausdorff.

Un pot mostrar també que cada espai regular de Hausdorff és de Urysohn i cada espai de Tychonoff (= espai completament regular de Hausdorff) és completament de Hausdorff. En resum tenim les següents implicacions:

Tychonoff (T 3 ½ )	$\Rightarrow$	regular de Hausdorff (T 3 )
$\Downarrow$		$\Downarrow$
Hausdorff completament	$\Rightarrow$	Urysohn (T 2 ½ )	$\Rightarrow$	Hausdorff (T 2 )	$\Rightarrow$	T 1

Un pot trobar contraexemples mostrant que cap d'aquestes implicacions s'inverteix.

Exemples

La co-topologia d'extensió comptable és una topologia sobre la línia real generada per la unió de la topologia usual euclidiana i la co-topologia comptable. Els conjunts són oberts en aquesta topologia si i només si són de la forma U \ A on U és obert a la topologia euclidiana i A és comptable. Aquest espai és completament de Hausdorff i de Urysohn, però no regular (i així, no de Tychonoff).

Hi ha exemples foscos d'espais que són de Hausdorff però no de Urysohn, i espais que són de Urysohn però no completament de Hausdorff o regular de Hausdorff. Per detalls veure Steen i Seebach.

Referències

• Steen, Lynn Arthur & Seebach, J. Arthur Jr (1.995), counterexample in Topology, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 507.446, ISBN 978-0-486-68735-3
• Stephen Willard, General Topology , Addison-Wesley, 1970. Reprinted by Dover Publications, New York, 2004. ISBN 0-486-43479-6 (Dover edition).

• Completely Hausdorff a PlanetMath