Espai de Banach

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, un espai de Banach és un espai vectorial normat i complet. Pren el seu nom en el matemàtic Stefan Banach. En un espai vectorial E sobre el cos dels nombres reals o dels nombres complexos. Una norma a E és una aplicació ||·||:E → [0,∞); x ↦ ||x|| amb les següents propietats per a tot escalar λ i qualssevol vectors x, y de l'espai E:

Quan en un espai vectorial tenim definida una norma, parlem d'espai vectorial normat.

Sigui E un espai normat, prenem la definició usual de límit amb la mètrica habitual d(x,y) = ||x-y||. Diem que \lim_{n\to \infty} \mathbf{x}_n=\mathbf x quan ||xn-x|| → 0 per a n→∞. Ara només cal afegir la noció de completesa. Direm que aquest espai normat E és complet quan tota successió {xn} d'elements d'E que és successió de Cauchy té un límit en E. Les successions de Cauchy són aquelles en què els termes de la successió són cada vegada més propers conforme es van agafant de manera successiva. De manera resumida, són aquelles en què ||xn+1xn|| → 0 per a n→∞.

Així doncs, un espai de Banach és un espai vectorial E sobre el cos dels nombres reals o el dels complexos amb una norma ||·|| tal que tota successió de Cauchy (respecte la mètrica d(x,y)=||x-y||) en E és convergent (té un límit).

Per exemple: Els espais euclidians E=ℝn amb la norma  \lVert \mathbf{x}\rVert=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}, on \mathbf x=(x_1,\ldots,x_n)\in \R^n, són espais de Banach.