Espai prehilbertià

Un espai prehilbertià o espai prehilbert és un espai vectorial proveït d'un producte escalar. Més concretament, és un parell $(V, \langle \cdot|\cdot \rangle)$, on $V \,$ és un espai vectorial sobre un cos $\mathbb{K}$ i $\langle \cdot|\cdot \rangle$ és un producte escalar en $V \,$.

L'espai prehilbertià és un tipus de espai mètric amb la mètrica induïda per la norma que com veurem es pot definir a partir del producte escalar. Un espai prehilbertià que a més sigui un espai complet, es dirà que és un espai de Hilbert o hilbertiano. Si és de dimensió finita es dirà que és espai euclidià.

Una condició necessària perquè un espai perhilbertiano sigui un espai de Hilbert és que el cos base $\mathbb{K}$ sigui $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$, així cap espai prehilbertià sobre $\mathbb{Q}$ pot ser un espai de Hilbert.

Formalment, un espai prehilbertià és un espai vectorial V sobre un cos K (Pot ser R o C ), el qual té una operació definida amb la següent funció:

$\langle \cdot, \cdot \rangle: V \times V \rightarrow \mathbf{K}$

anomenada producte escalar, que satisfà certs axiomes:

• Hermítica.

$\forall x,y\in V,\ \langle x,y\rangle =\overline{\langle y,x\rangle}.$

Noteu que si K = R , la propietat de hermítica és la simetria ordinària:

$\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle.$

Aquesta condició implica que $\langle x, x \rangle \in \mathbf{R}$ per a tot $x \in V$, perquè $\langle x, x \rangle = \overline{\langle x, x \rangle}$.

• Sesquilineal:

$\forall a\in K,\ \forall x,y\in V,\ \langle ax,y\rangle= a \langle x,y\rangle.$

$\forall x,y,z\in V,\ \langle x+y,z\rangle= \langle x,z\rangle+ \langle y,z\rangle.$

Combinant aquesta propietat amb la de ser hermítica:

$\forall b\in K,\ \forall x,y\in V,\ \langle x,by\rangle= \overline{b} \langle x,y\rangle.$

$\forall x,y,z\in V,\ \langle x,y+z\rangle= \langle x,y\rangle+ \langle x,z\rangle.$

En el cas que el cos sigui R aquesta propietat implica que el producte escalar és bilineal.

• Definida positiva:

$\forall x \in V, \ \langle x, x \rangle \ge 0.$ (Té sentit, ja que $\langle x, x \rangle \in \mathbf{R}$ per a tot $x \in V$.)

A més, l'únic vector que en fer el producte escalar amb ell mateix és zero, és el vector nul. Això s'expressa així:

$\langle x,x\rangle = 0 \; \mbox{ si } x = 0.$

Normes en espais prehilbertians

En els espais amb producte escalar es defineix una norma

$\|X \|= \sqrt{\langle x, x \rangle}.$

La norma està ben definida, per ser sempre el producte escalar d'un vector per si mateix un nombre real més gran o igual que zero. A espais euclidians defineix la "longitud" del vector x . A més es tracta d'una norma per complir les condicions:

• $\|X \|$ és sempre positiva i val zero si i només si x val zero.

• Homogeneïtat: per a tot vector x i r un escalar:

$\|r \cdot x\| = |r| \cdot \| x\|.$

• Desigualtat triangular: per a tot vector x i i

$\|x + y\| \leq \|x \| + \|y\|.$

Usant els axiomes ja esmentats podem demostrar els següents teoremes:

• Desigualtat de Cauchy-Schwarz: per x , i elements en V

$|\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|$

La igualtat es compleix si i només si x i i són linealment dependents

Aquesta és una de les més importants desigualtats en la matemàtica. També és coneguda en la literatura matemàtic russa com la desigualtat Cauchy-Bunyakowski-Schwarz

La prova d'aquest teorema i les seves aplicacions poden trobar al article sobre la desigualtat de Cauchy-Schwarz

• Llei del paral·lelogram:

$\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2.$

• Teorema de Pitàgores: Sean x , i vectors ortogonals, aleshores

$\|x\|^2 + \|y\|^2 = \|x+y\|^2.$

Aquestes últimes dues identitats només requereixen expressar la definión de la norma en termes del producte intern, fer les operacions i usar els axiomes de norma.

Una fàcil generalització del teorema pitagòric que pot ser provada per inducció és la següent:

• Si x ₁ , ..., x _n són vectors ortogonals, o sigui, < x _j , x _k > = 0 per a tot j , k diferent, llavors

$\sum_{i=1}^n \|x_i\|^2 = \left\|\sum_{i=1}^n x_i \right\|^2.$

Exemples

• Un exemple trivial són els nombres reals amb la multiplicació estàndard com a producte intern.

$\langle x, y \rangle: = xy$

• Més generalment, qualsevol espai euclidià R ⁿ amb el producte escalar és un espai amb producte intern.

$\langle (x_1, \ldots, x_n), (y_1, \ldots, y_n) \rangle: = \sum_{i = 1}^{num}x_i y_i = x_1 y_1+\cdots+x_n y_n$

Tenim la norma:

$\|X \|= \sqrt{\sum_{i = 1}^{num}x_i^{2}}= \sqrt{x_1^{2}+\cdots+x_n^{2}}.$