Espai prehilbertià

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Interpretació geomètrica de l'angle que formen dos vectors defenit usant el producte escalar.

Un espai prehilbertià o espai prehilbert és un espai vectorial proveït d'un producte escalar. Més concretament, és un parell  (V, \langle \cdot|\cdot \rangle) , on  V \, és un espai vectorial sobre un cos  \mathbb{K} i  \langle \cdot|\cdot \rangle és un producte escalar en  V \,.

L'espai prehilbertià és un tipus de espai mètric amb la mètrica induïda per la norma que es pot definir a partir del producte escalar. Un espai prehilbertià que a més sigui un espai complet és un espai de Hilbert o hilbertià. Si és de dimensió finita e aleshores és un espai euclidià.

Una condició necessària perquè un espai prehilbertià sigui un espai de Hilbert és que el cos base  \mathbb{K} sigui  \mathbb{R} o  \mathbb{C}, així cap espai prehilbertià sobre  \mathbb{Q} pot ser un espai de Hilbert.

Definició[modifica | modifica el codi]

Formalment, un espai prehilbertià és un espai vectorial V sobre un cos  \mathbb{K} (Pot ser  \mathbb{R} o  \mathbb{C}), el qual té una operació definida amb la següent funció:

 \langle \cdot, \cdot \rangle: V \times V \rightarrow \mathbf{K}

anomenada producte escalar, que satisfà certs axiomes:

\forall x,y\in V,\ \langle x,y\rangle =\overline{\langle y,x\rangle}.
Si K = R, la propietat de hermítica és la simetria ordinària:
 \langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle.
Aquesta condició implica que  \langle x, x \rangle \in \mathbb{R} per a tot  x \in V , perquè  \langle x, x \rangle = \overline{\langle x, x \rangle}.
\forall a\in K,\ \forall x,y\in V,\ \langle ax,y\rangle= a \langle x,y\rangle.
\forall x,y,z\in V,\ \langle x+y,z\rangle= \langle x,z\rangle+ \langle y,z\rangle.
Combinant aquesta propietat amb la de ser hermítica:
\forall b\in K,\ \forall x,y\in V,\ \langle x,by\rangle= \overline{b} \langle x,y\rangle.
\forall x,y,z\in V,\ \langle x,y+z\rangle= \langle x,y\rangle+ \langle x,z\rangle.
En el cas que el cos sigui  \mathbb{R} aquesta propietat implica que el producte escalar és bilineal.
 \forall x \in V, \ \langle x, x \rangle \ge 0. (Té sentit, ja que  \langle x, x \rangle \in \mathbb{R} per a tot  x \in V .)
A més, l'únic vector que en fer el producte escalar amb ell mateix és zero, és el vector nul. Això s'expressa així:
 \langle x,x\rangle = 0 \; \mbox{ si } x = 0.

Normes en espais prehilbertians[modifica | modifica el codi]

En els espais amb producte escalar es defineix una norma

 \|X \|= \sqrt{\langle x, x \rangle}.

La norma està ben definida, per ser sempre el producte escalar d'un vector per si mateix un nombre real més gran o igual que zero. A espais euclidians defineix la "longitud" del vector x. A més es tracta d'una norma per complir les condicions:

  •  \|X \| és sempre positiva i val zero si i només si x val zero.
 \|r \cdot x\| = |r| \cdot \| x\|.
 \|x + y\| \leq \|x \| + \|y\|.

Usant els axiomes ja esmentats es poden demostrar els següents teoremes:

 |\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|
La igualtat es compleix si i només si x i i són linealment dependents
Aquesta és una de les més importants desigualtats en la matemàtica. També és coneguda en la literatura matemàtic russa com la desigualtat Cauchy-Bunyakowski-Schwarz
La prova d'aquest teorema i les seves aplicacions poden trobar al article sobre la desigualtat de Cauchy-Schwarz
 \|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2.
 \|x\|^2 + \|y\|^2 = \|x+y\|^2.
Aquestes últimes dues identitats només requereixen expressar la definició de la norma en termes del producte intern, fer les operacions i usar els axiomes de norma.
Una generalització fàcil del teorema pitagòric que pot ser provada per inducció és la següent:
  • Si x 1 , ..., x n són vectors ortogonals, o sigui, < x j , x k > = 0 per a tot j , k diferent, llavors
 \sum_{i=1}^n \|x_i\|^2 = \left\|\sum_{i=1}^n x_i \right\|^2.

Exemples[modifica | modifica el codi]

  • Un exemple trivial són els nombres reals amb la multiplicació estàndard com a producte intern.
 \langle x, y \rangle: = xy
  • Més generalment, qualsevol espai euclidià Rn amb el producte escalar és un espai amb producte intern.
 \langle (x_1, \ldots, x_n), (y_1, \ldots, y_n) \rangle: = \sum_{i = 1}^{n}x_i y_i = x_1 y_1+\cdots+x_n y_n
Es té la norma:
 \|X \|= \sqrt{\sum_{i = 1}^{n}x_i^{2}}= \sqrt{x_1^{2}+\cdots+x_n^{2}}.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]